新课标下高考三角函数考点追踪

杜岩（甘肃省泾川县第一中学）

新课标下高考三角函数考点追踪

杜岩
（甘肃省泾川县第一中学）

课标卷与大纲卷高考数学试题有较大变化，其中三角函数部分比较明显，追踪新课标下高考三角函数试题，进行仔细分析，研究考点变化，总结高考规律，必将提高复习的实效性。

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一、新课标下三角函数试题的特点

新课标卷高考数学文理科试题差异明显，文科注重考查基础知识，理科则是知识与能力考查并举；试题的呈现形式灵活多样，没有固定的模式；分值大致稳定在20分左右，必做题15分左右，选做题5分左右；在第（17）题出现三角函数题，一般都会对学生的个性品质和心理素质进行考查。

二、新课标下三角函数试题的考点追踪

1.三角函数的概念、图象与性质

三角函数的定义，五点法作图，图象变换，根据部分图象求函数解析式；值域（最值），周期性，奇偶性，单调性，图象的对称性；含有参数的三角函数问题；在知识交汇处命题，综合性较强，思维含量较高，需要仔细审题，方可准确解答。

点评：实际问题建立三角函数模型，由解析式选择相应图象，是选择题考应用题的亮点，难点是准确理解题意并写出正确的函数解析式。

考情汇总：2007至2015年均考到，出现在选择题、填空题中。

2.三角恒等变换

恒等变换是三角函数的核心内容，是高考的热点，每年必考。试题灵活性大，能力要求较高。常常以三角函数式的化简、求值形式出现，常与三角函数的图象、性质结合，也与解三角形联系在一起考查。考查同角三角函数的基本关系式，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形应用。

【例2】设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=____________.

点评：两种方法，各有特点，法一比较灵活，法二思路简单，运算麻烦。

考情汇总：2007至2015年均有考查，大多数出现在小题中。3.三角形中的三角函数问题

这类题常考常新，亮点纷呈。常以三角形为载体，考查正、余弦定理，三角形面积公式，平面几何中重要的定理，三角公式的灵活运用，凸显三角函数的实用性。在（17）题中出现时，已成为解答题能否取得高分的分水岭，与以往的三角题相比，突出思维含量，减少了运算量。对恒等变换、逻辑推理、数据处理以及遇到障碍时绕过障碍重新选择思路等方面的能力要求较高，同时还有函数与方程思想，考生的个性心理品质的考查。

思路一，在△ADC和△ADB中由余弦定理求出AC和AB，在△ABC中利用余弦定理求解，运算量大，甚至会遇到计算障碍，仔细计算才能得出结果∠BAC=60°。

思路二，建立如图所示的坐标系，可用两向量的夹角公式求解，但是在计算中也会遇到和思路一同样的麻烦。

点评：本题是检测考生的心理素质的经典题，这也是新课标下高考三角函数题的显著特点，《考试说明》中明确指出当考生遇到运算障碍时要能调整运算思路绕过障碍，法三是充分发挥了平面几何中作辅助线的方法，另辟蹊径，巧妙求解，值得重视。

【例4】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________。

当且仅当2B-30°=90°，B=60°时S△ABC取最大值。

点评：三角形面积最值的求解策略基本有两种方法：建立函数模型求解，利用不等式求解。法一通过解三角形，建立关于三角函数模型，利用三角函数的性质求最值，渗透函数思想；法二借助于基本不等式来求最值，不失为上策。

考情汇总：2007至2015年均可见到解三角形问题，选择题、填空题、解答题中都出现过。

4.坐标系与参数方程

新课标下对三角函数的考查也经常出现在三选一的解答题（23）题中，也是大多数考生首选的题。常见曲线的参数方程，极坐标方程都与三角函数紧密相关，一般考生能顺利解答第一问，第二问就比较困难。若能准确理解参数方程中参数的几何意义，极坐标方程的意义，充分发挥三角函数的工具性作用，则可以轻松求解，稳妥得分。

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

直线l的普通方程为2x+y-6=0。

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

解析：（Ⅰ）略。

（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），（其中0≤α＜π）

点评：这两道题都涉及了求两动点之间距离的最值问题，例5利用椭圆的参数方程借助于三角函数求最值；例6只需要将曲线C1的普通方程化成极坐标方程θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用极坐标方程求解显得简便。

考情汇总：2007至2015，每年在（23）中均出现，而且灵活性越来越大，不是想象的送分题了，解答须谨慎。

三、备考建议

新课标下的高考试题既肩负着为高校选拔优秀新生的重任，又指引着高中阶段的教学。研究新课标，研究新考纲，研究高考题是高考备考的基本环节。高考试题变化莫测，如果仔细研究高考试题，还是可以发现高考规律的，认真研究近几年新课标全国卷的数学试题，在复习中可以起到事半功倍的效果。笔者认为凡是以往考过的经典试题就值得仔细研究，反复琢磨，直到弄清出题人的意图；合理利用复习资料，注意提取精华，充分挖掘课本中可能出现的高考题；注重思维训练，发展学生的智力，提高分析问题与解决问题的能力，提炼数学思想与方法。真正把新课改与新高考结合起来，切实提高学生的数学素养，以不变应万变，方可在高考中取得可喜的成绩。

孙琳.新课标下高考中的三角函数解题研究［D］.西北大学，2015.

·编辑薛直艳