概念，在“线”与“面”的行进中明晰——对人教版三年级下册“面积的认识”一课教学的分析与思考

浙江宁波市鄞州区东南小学（315000） 张颖颖

概念，在“线”与“面”的行进中明晰
——对人教版三年级下册“面积的认识”一课教学的分析与思考

浙江宁波市鄞州区东南小学（315000） 张颖颖

数学概念教学的追求并非是使学生明白形式化的定义，而是让学生真正从意义上理解和从本质上把握概念。面积概念的建立是学生空间观念形成过程中的一次重要飞跃，标志着学生在认识一维空间的基础上开始认识二维空间。因此，教学预案应因生而设，教学过程要顺学而导。数学概念教学要从学生的认知起点出发，引导学生积极探索、主动发现、深刻体会，以实现让学生在“线”与“面”的行进中明晰面积概念的目的。

概念教学 感知理解深化 升华融会面积

源起：概念，学生真的理解了吗？

我偶然听到几位同事聊天：“现在的学生真是越来越差了，长度单位与面积单位老是乱用，怎么讲都没用！”“学生的作业也是错得一塌糊涂。”“是啊，我们班学生也是这样……”普遍问题的背后是否存在共性？我们的概念教学是否存在问题，导致学生根本没有真正理解面积的含义？带着这些问题，我走近学生。

我随机走进三年级的两个班，拿起数学书让学生指一指数学书封面的大小。此时，学生尚未认识面积，但他们对数学书封面大小的表示惊人的统一：约90%的学生指周长，4%的学生茫然，6%的学生摸数学书部分的封面或点数学书封面的中心。此后，我陆续在兄弟学校进行走访，发现结果也基本相同。可见，此时学生的思维尚停留在一维空间，对面积的理解或表达都是贫乏的、苍白的。

那么，学习面积概念后的学生是否真正理解了概念，实现一维空间向二维空间的发展呢？在教学此课后，我第一时间走近学生，就“一样长的线，围出的图形面积是否相等”这一问题与他们进行探讨。遗憾的是，92%的学生依然“线”“面”混淆，将比线的长短等同于比面的大小。所以，单纯的面积概念的教学可能很难使学生真正建立起面积的概念，更难以实现一维空间向二维空间的发展。

回想之前的对话与近段时间对学生的了解，我不断思考着两个问题：“线”与“面”如何真正辨析，有效沟通？“面”和“面积”的区别是什么，两者又该如何有机衔接？

思考：概念，如何让学生真正理解？

“面积的认识”是小学数学中面积知识学习的开始，是“图形与几何”领域的重要内容。面积概念的建立是学生空间观念形成过程中的一次重要飞跃，标志着学生在认识一维空间的基础上开始认识二维空间。面和面积是两个不同的概念，面是指有长有宽而没有厚度的一种行迹，这种行迹有平面还有曲面；而面积是指一个物体表面或封面图形所围成的区域的度量。为此，本课教学应该从知识的本质入手，立足学生已有的认知基础，围绕物体表面、平面图形将面与面积的知识科学衔接，并通过“线”与“面”的辨析活动，促进学生对知识的深层思考，逐步感知面积的含义，获得对知识本质内涵的理解。

实践：概念，在“线”“面”辨析中行进

一、在观面中感知概念

1.了解学情

师：今天这节课，我们一起来研究“面积”。大家觉得什么是面积？

生1：物体表面是面积。

生2：长方形的面积是长乘宽。

生3：面积就是平方……

师：今天的学习内容，就从同学们提到的对物体表面的研究开始。

2.合作观面

师：四人小组合作，交流讨论对物体（如水杯、数学书等）表面的认识。

课件出示合作要求：四人小组找一找、摸一摸物体的面，相互说说自己有什么发现。

3.汇报交流，丰富认识

学生小组汇报有以下几种情况：（1）从物体的材质方面进行汇报，如面是滑滑的、粗糙的；（2）从面的个数方面进行汇报，如数学书有6个面等；（3）从物体面的形状方面进行交流，如纸盒有的面是长方形的，有的面是三角形的；（4）从物体面的特点方面进行交流，如水杯上面是平平的、主体是弯弯的。

4.适时点评，抽象出平面与曲面

师在学生汇报时，均给予适时的点评，并引导学生从提到的“平平的面、弯弯的面”中及时抽象出平面与曲面这两个概念。

5.小结

师：通过四人小组合作，我们发现了物体的面有平面，也有曲面，而且形状各不相同。

……

面积的研究基于面大小的度量。生活中，“面”都是依附“体”存在的，而学生对一个事物的认知往往都是先从整体感知，再到逐步观察的。

基于此，我在全课的起始环节从整体感知导入，借助数学书、水杯、纸盒这三个物体，让学生以小组为单位找一找、摸一摸物体的面。由于所提供的学具形状具有代表性，学生自然而然地将观察点聚焦到了“面”上，并能很快发现不同的物体，面的形状会有所不同。同时，学生通过触摸感受到了平面与曲面，有效完成了对“面”的整体感知。

二、在辩面中理解概念

（一）物体表面

1.辨析线与面，认识面积

（1）请面。

课件动态演示，分别出示数学书封面、水杯顶面和纸盒侧面。

（2）辨面（以数学书封面为例）。

①指。

师：这些面各有多大呢？现以数学书封面为例，同桌两人指指它的大小。（大部分学生指的是周长，于是先请指周长的学生上台演示，再通过学生间的辨析，引出不同的意见）

②刷。

师：如果真的如第一个同学所指的那样，那指出的只是这个面的边线，所以应该要像第二个同学那样指。（然后让学生举起小手，想象它就是一把神奇的带颜色的刷子，一起刷出整个面的大小。同时，师边说边用课件动态呈现描数学封面边线、里面部分消失的过程，再出示用刷子刷数学书封面的过程）

③描述。

师：现在你觉得数学书封面的大小指的是什么？生1：整个面都是。

生2（指数学书封面）：就是这里面的一大片。……

（3）说一说水杯顶面与纸盒侧面的大小。

师（小结）：像这样，物体表面的大小，就叫这个面的面积。

2.比较三个面面积的大小

师：找比数学书封面的面积大得多的面，比黑板面的面积小一点的面，比黑板面的面积大得多的面。

（二）封闭图形

1.围

师：刚才我们通过对物体表面的研究，知道了什么叫面积。现在老师这里有这样的四条线（如右图），如果将它们分别围成一个封闭图形，想一想，会围成什么图形？（课件动态演示将四条线段围成圆、正方形、长方形、三角形）

2.指（请学生代表上台指一指封闭图形的面积在哪里）师生（小结）：圆的大小，就是圆的面积；长方形的大小，就是长方形的面积；正方形的大小……

师：是啊，封闭图形的大小，也叫封闭图形的面积。

3.比较

师：这里圆、长方形、正方形、三角形的面积，谁大谁小呢？

生3：圆的面积最大，三角形的面积最小，长方形与正方形的面积相等。

生4：圆的面积最大，三角形的面积最小，正方形的面积比长方形的面积大。

4.辩

（请持不同意见的学生分别阐述理由，学生有的认为围两个图形的线一样长，所以它们的面积一样大；有的则认为虽然围的线一样长，但是面积不一定相等）

师（提炼观点并板书）：一样长的线，围出来的图形，面积一定（不一定）相等。（然后给出两根一样长的线，邀请意见相反的两个学生在操场上围一围，使学生通过动手操作，得出结论：一样长的线，围出来的图形，面积不一定相等。

……

面积概念的建立标志着二维空间认识的开始。上述教学作为面积概念构建的重要环节，我主要从物体表面与封闭图形两个方面引导学生认识面积，并紧扣学情设计两个“线”“面”的辨析活动。第一个活动为讨论“面的大小指哪里”。受周长的负迁移影响，大部分学生通常用“指边线”代替“摸面”，分析其背后的原因主要有两个：一是学生确实不理解面的大小到底指哪里；二是学生懵懂知晓，但不知如何表达。可见，不论是哪种情况，都有必要让学生经历“指边线”与“摸面”的辨析活动，从本质上实现他们对面积概念的有效构建。第二个活动为讨论“一样长的线围出的图形面积是否一定相等”。大部分学生都认为两条一样长的线所围的图形的面积一定相等，即将线的长短等同于面的大小。所以，在认识封闭图形面积这一环节中，我再一次引入“线”“面”的比较：用四根线段（其中两根线的长度相等）围封闭图形，引导学生在比较所围图形面积的大小时展开讨论，得出一样长的线围出的图形面积一定相等与面积不一定相等两个观点。毋庸置疑，学生在经历了这样两个“线”“面”的辨析活动后，对面积概念的理解会更加深刻，一维空间向二维空间的发展也就水到渠成了。

三、在测面中深化概念

1.同桌合作，测量图形面积的大小

课件出示大小不同的正方形、圆形、剪刀，要求学生同桌合作，选择工具比较图形面积的大小。

2.汇报交流，分享比较的方法

学生的比较方法主要有两种，分别为剪拼法与摆图形，作品如下图。

接着，师引导学生观察比较长方形、正方形面积大小的方法，并让学生思考：哪种方法最合理，为什么？然后使学生得出：用完全一样的小正方形来量，是非常不错的方法。在此基础上，师引导学生理解只摆一行一列的这种情况，并让学生介绍是怎样比较图形面积大小的。

……

显而易见，上述环节是为学生进一步理解面积概念而设计的，并为面积单位的教学埋下伏笔。

在通过摆图形来比较图形面积大小的过程中，体现了多个思维层次，即有的摆满，有的只摆一行一列就能比较出图形面积的大小了。而且，学生在比较中，有的选择摆正方形比较，有的选择摆圆形比较，有的统一了比较的标准，有的则没有统一比较的标准。虽然方法各有不同，且有瑕疵，但学生均已由课始的比“线”到了如今自觉的比“面”，有效深化了所学的数学概念。

四、在想象中升华概念

1.猜一猜

师（多媒体动态呈现下图）：哪个长方形的面积大？

通过猜一猜使学生明确：要想象一个长方形的面积，至少要知道两个元素，即长与宽。

2.估计（多媒体出示下图）

根据已知的长与宽，想象是什么学习用品的哪个面，并估计这个面的面积有几个小正方形这么大。（此题有橡皮上面、学生尺表面、铅笔盒上面三组学习用品，图例仅为其中的一组）

……

小学阶段是人的一生中空间观念发展的重要时期，而“图形与几何”领域的教学内容无疑是培养学生空间观念的最佳载体。诚然，这节课的“线”“面”辨析已为发展学生的空间观念提供了较好的平台。于此，我还想从空间想象这个维度加以落实与升华，逐步引领学生实现一维空间到二维空间的发展。

在此课的练习环节中，我借助空间想象设计了“猜一猜”的活动，在巩固新知的同时再次发展学生的空间观念，引导学生从“看到一行一列想象长方形的面积”到“看到一条长和一条宽想象长方形的面积”再到“只看到一条边能不能想象一个长方形的面积”，使学生直观而又深刻地感悟到：要想象一个长方形的面积，至少要知道长与宽两个元素。基于此，我再让学生根据提供的一条长与一条宽想象长方形的面积，并与生活中实际物体的面加以联系，借助小正方形估测面积。在这层层深入的猜测和想象中，学生的参与热情被点燃，更是由具象到抽象，再由抽象回到具象，形象直观地实现一维空间向二维空间的发展。

五、在沟通中融会概念

1.以线量线

师：还记得我们量线段长度时，是用什么量的吗？（学生回答后，课件演示用尺子测量线段的长度，如下图）

2.以面量面

师（课件动态演示线变成面的过程）：现在，我们知道了可以用小正方形去量面积。

3.以体量体

师（课件动态演示面变成体的过程）：如果我们以后要测量立体图形面积的大小，会用什么量？

……

在“图形与几何”内容中，长度、面积、体积是刻画图形大小的度量概念，根据图形的维数，它们的内涵表述是有差异的。长度、面积和体积是一组从一维空间至二维空间再到三维空间的度量概念，三者在要素构成中具有逻辑关系，经历了“点——线——面——体积”的过程。本节课“面积的认识”，打破了学生用线度量长度的单一思维，开始接触以面度量面积大小的知识，而单位的匹配性会是我们教学中关注的重点。

课末，我从单位匹配性的沟通比较与拓展延伸入手，设计了“以线量线”“以面量面”“以体量体”的环节，使学生在回忆、思考与推论中融会贯通。在数形结合的直观演示中，学生形成了认知表象，使长度与面积的表征于潜移默化中记忆深刻，而对体积的感悟也逐渐加深。这一环节的设计不仅是全课的知识回顾，更是“图形与几何”领域知识脉络的横向沟通与纵向深入。相信有了以上的教学，学生滥用单位的现象会得到明显改变。

数学概念教学的追求并非是使学生明白形式化的定义，而是让学生真正从意义上理解和从本质上把握概念。课堂教学设计有多种方法，但无论是掌握概念，还是渗透思想方法都非教师的一厢情愿，而应该是因生而设、顺学而导。朱永新教授曾说过：“要想把学生引领到你需要的地方，你得知道学生现在在哪里。”此课教学从学生的认知起点出发，在“线”与“面”的一观一辩、一测一想之间层层深入，引导学生积极探索、主动发现、深入体会，使学生的思维在数学概念教学中得到发展。

（责编蓝天）

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1007-9068（2016）17-015