渗透数学史料，弘扬传统文化朱

田晟骜

《普通高中数学课程标准》（实验）在“课程基本理念”中指出：“数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神.数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对数学文化的学习要求.”

数学文化的价值主要体现在数学对于人们观念、精神及思维方式的养成所起的十分重要的影响，这种影响是潜移默化的.在近年的高考试题、各地的模拟试题中，常出现一类以数学文化为背景、渗透数学传统文化的问题.例如，2015年高考，全国一卷第6题的“委米依垣内角”、全国二卷第8题的“更相减损术”，设计思路都来源于《九章算术》，湖北卷第2题选自《九章算术》中的“米谷粒分”问题，渗入其中的是我国古代数学最朴实的统计抽样的思想方法.2015年北京中考数学试题注重对中国传统数学文化的考查，意在重视学生数学文化底蕴的积累.例如，第4题，在“剪纸”中认识图形；第8题，利用平面直角坐标认识我国古代文明建筑——故宫；第13题，介绍《九章算术》，让学生了解《九章算术》在数学史中的重要地位.这类试题蕴涵着浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法、文化融为一体，考查学生在新情景下对知识的理解及迁移到不同情境中的能力，能够检测学生思维的广度、深度和进一步学习的潜能.

数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史，它是数学文化的重要组成部分.在数学史中寻找命题背景常被命题者所推崇.这里，以近年出现的以中国数学文化史为背景高考试题（模拟试题）为例，呈现传统数学文化与试题的融合，关注依托数学史料、彰显数学文化的新探索，揭示其数学文化背景.

例1（依垣内角）（2015年高考数学全国卷1）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

解析此题取材于《九章算术》卷五商功（二五），刘徽注曰：其依垣者，“居圆锥之半也.”其依垣内角者，“角，隅也，居圆锥四分之一也.”

例2（更相减损术）（北京市东城区2015—2016学年度第二学期高三综合练习）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（ ）

《九章算术》是中国古代数学专著，它的出现标志着中国古代数学体系的形成.后世的数学家大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的.唐宋两代都由国家明令规定为教科书.1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书.

《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术.这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股.

《九章算术》分为九章.它们的主要内容分别是：

第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法.包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法.另外还系统讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法.

第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术.

第三章“衰分”：比例分配问题.

第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；介绍了开平方、开立方的方法.

第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出各种立体体积公式外，还有工程分配方法.

第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题.今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论.西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法.

第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法.这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大.

第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，勾股定理求解相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致.这是世界上最早的完整的线性方程组的解法.在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则.这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法.这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系.外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数.

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题.勾股章还有些内容，在西方却是近代的事.例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出.

《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到清朝中叶.《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主.

《张丘建算经》成书于5世纪，比《孙子算经》稍晚.作者张丘建，河北清河人.该书共三卷92题，包括测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面的计算问题.比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.

例5（牟合方盖）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）

解析：由直观图可知，俯视图是正方形加对角线，答案为B.

牟合方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因为像是两个方形的盖子合在一起，所以被称作「牟合方盖」.牟合方盖被1994年哈佛大学主编的《微积分》教材收录，牟合方盖是中国古代最被忽略的伟大数学成就.

刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下描述：

“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸.规之为圆囷，径二寸，高二寸.又复横规之，则其形有似牟合方盖矣.八棋皆似阳马，圆然也.按合盖者，方率也.丸其中，即圆率也.”

刘徽希望构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是“牟合方盖”，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π：4，他希望可以用“牟合方盖”证实《九章算术》的公式有错误.当然他也希望从这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道“牟合方盖”的体积跟内接球体体积的比为4：3，只要有方法找出“牟合方盖”的体积便可.只是刘徽始终不能解决，他只可以指出解决方法是计算出“外棋”的体积，但由于“外棋”的形状复杂，因此没有成功，无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法：“观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩.判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正.欲陋形措意，惧失正理.敢不阙疑，以俟能言者.”

200多年后，中国伟大数学家袓冲之及他的儿子祖暅，他们承袭了刘徽的想法，利用“牟合方盖”解决了球体体积公式的问题.

例6（祖暅原理）（杨浦区2015学年度第二学期高三年级学业质量调研）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式.在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 .

解析：祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论进行体积计算，得出“幂势相同，则体不容异”的结论.“势”即是高，“幂”是面积.

为了利用祖暅原理计算某个几何体的体积，常要构造一个几何体，此几何体必须符合两个条件：①它的计算公式是已知的；②它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体能夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截面面积总相等.

考虑半个橄榄状的几何体，构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥.如图所示，

《算数书》是1983年中国考古学家在湖北汉代古墓中发现的竹简.经过发掘，从淤泥中整理出160多件文物，包括从M247号古墓出土的《算数书》散乱竹简200多枚，其中180枚完整，其余残缺.《算数书》竹简，每枚长约30厘米，宽6至7毫米，上下各有竹节，上竹节离开竹简上端约1.5厘米，下竹节在竹简下端之上2厘米.《算数书》竹简的文字为7000余字隶书，用墨书写在每枚竹简正面两竹节之间，每枚竹简上书写的字数，从3字到36字，多少不等，其中第六枚竹简的背面上书“算数书”三字.

经学者鉴定，《算数书》成书于前202年至前186年之间，是中国最古老的数学书，比《九章算术》早三百余年.《算数书》的发现，改写了中国古代数学史.《算数书》有68个算题.在《算数书》发现之前，《九章算术》被认为是中国最古老的数学书.《算数书》的发现，改写了中国古代数学史，将中国古代数学的历史推前了三百年.

将《算数书》和《九章算术》共同研究，比较其异同，成为中国古代数学史研究中一个热门课题.有些学者认为，《算数书》和《九章算术》有许多相同的风格、度量衡、算题和方法，《算数书》很可能是张苍编写《九章算术》时的母本之一.中国《算数书》与古埃及纸草书、巴比伦数学泥版、古希腊数学文献，古印度《圣坛建筑法典》并列为世界五大古文明的数学经典.

“调日法”是南北朝数学家何承天发明的一种系统地寻找精确分数以表示天文数据或数学常数的内插法，以有理分数逼近实数，发展了古代的不定分析与数值逼近算法.调日法的发明，为数学的发展作出了贡献，在天文学上也有一定的作用.

科学和人文始终是人类进步的双翼.数学是人类文化的重要组成部分，是人类进步的产物，也是推动社会发展的动力.我国数学文化历史悠久，有许多不同于西方数学文化的鲜明特点：注重归纳、强调实用、讲究算法.将数学文化渗透于数学教学已成为数学课程的目标.以上试题的编拟，选取了体现中国古代优秀数学文化并与中学数学内容结合紧密的素材，要求考生运用所学的基础知识、基本思想方法解决问题.在高考试题（模拟试题）中渗透中国古代数学文化，强调中国古代数学文化的传统特色，使学生在考查过程中，潜移默化地接受我国古代数学文化的熏陶，自觉形成严谨、务实的治学态度，传承中华优秀传统文化，弘扬爱国主义精神.在教学中渗透数学传统文化，将数学文化自然地渗透于数学练习题，是数学教师应予思考的课题，值得重视和关注.