回归教材揭本质，学会思考扬理性——三道试题解答引发的思考

筅安徽省灵璧第一中学　郑良

回归教材揭本质，学会思考扬理性——三道试题解答引发的思考

筅安徽省灵璧第一中学郑良

哲学家卢梭说过：“误用光阴比虚掷光阴损失更大，教育错了的孩子比没有受到过教育的孩子离智慧更远.”疲于奔命的我们是否应该稍作停顿尝试反思：我们的教育是让孩子智慧更近了还是更远了呢？“数学是一种理性的精神，它使人类的思维得以运用到最完善的程度.”（克莱因语）理性思维是数学的核心思维能力，也是组成个人人格素养的重要部分.发展理性思维，培养理性精神是数学学习的核心任务，有利于培养学生求真务实的品格，使其成为有着理性思维的人.阶段性考试是教学检测的一种重要形式，分析考试结果（现象）、反思教学得失、剖析问题根源（成因），进而明确教学方向与改进教学措施.下面笔者以本校高三学生（统一）参加校段考及市统考所反映出来的问题为例，结合教学实践谈谈教学理解与感悟.

一、案例呈现与剖析

例1已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M=｛0，1，2，…，q-1｝，集合A=｛x|x=x1+x2q+…+xnqn-1，xi∈M，i=1，2，…，n｝.

（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；

（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n，证明：若an

本题作为“不等式”模块段考题，取自2014年高考天津卷理科第19题，主要考查集合的含义与表示、等比数列的前n项和公式、不等式的证明等知识，考查运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.第（Ⅰ）问把n和q的值代入，用列举法表示出集合A，第（Ⅱ）问s与t作差，根据an

解：（Ⅰ）当q=2，n=3时，M=｛0，1｝，A=｛x|x=x1+x2·2+ x3·22，xi∈M，i=1，2，3｝，可得A=｛0，1，2，3，4，5，6，7｝.

（Ⅱ）证明：由s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，ai，bi∈M，i=1，2，…，n及an

大部分学生及部分教师对第（Ⅱ）问给出以下解答（以下简称错证）：

由s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，ai，bi∈M，i=1，2，…，n及an

点评：上述错证的着眼点与关键为“an

本题的本质是数的进制，设k是大于1的整数，那么，任一个正整数N总可以写成N=ankn+an-1kn-1+…+a1k+a0，其中0

例2已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值.

本题作为“不等式”模块段考题，取自2011年高考湖南卷文科第21题.考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，考查分析问题与解决问题的能力.第（Ⅰ）问只要按照直接法求曲线方程即可，第（Ⅱ）问使用其中一条直线的斜率为参数，建立点A，B，D，E的坐标与参数k的关系，然后用点的坐标表示数量积，建立起这个数量积（目标）关于k的函数，求出函数的最值.命题组提供的答案如下：

（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y=k（x-1）.

图1　

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是

因为l1⊥l2，所以l2的斜率为-.设D（x3，y3），E（x4，

y4）.同理可得+8=16，当且仅当k2=，即k=±1时取最小值16.

大部分学生对第（Ⅰ）问的解答为：由题意可知，平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到x=-1的距离相等，所以点P的轨迹是以点F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x.对于第（Ⅱ）问尝试将A，B，D，E四点分别用k表示，（计算烦琐）无疾而终.

点评：曲线与方程是解析几何的重要内容，概念强调曲线上点的“纯粹性”与方程的解的“完备性”.轨迹方程的常见求法为直接法、定义法、相关点法（代入法）、参数法、交轨法等.消除差异“1”是化归与转化思想的体现，学生的想法是自然的，但转化必须等价，当x≥0时，点P到直线x=-1的距离比它到y轴的距离多1，当x＜0时，此规则不满足，取而代之，点P到直线x=1的距离比它到y的距离多1，考虑到点F（1，0）在直线x=1上，点P的轨迹为过点F（1，0）且垂直于x=1的直线的一部分，这些内容完全是抛物线定义（平面内到定点F的距离和它到定直线l（定点F不在定直线l上）的距离的比为常数1）的解读.原题等价于动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=±1的距离相等.学生的错解可修正为：

解法2：（Ⅰ）原题等价于动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=±1的距离相等.若直线是x=1，则轨迹是一条射线，方程为y=0（x＜0）；若直线是x=-1，则由定义知，轨迹是抛物线，其方程为y2=4x（x≥0）.

对于第（Ⅱ）问，若分别用k表示A，B，D，E，位置关系有两种（如保持图1中A，B位置不变，调整D，E位置），结果一样吗？运动变化中有无不变性？能用不同的方式求解吗？考虑到互相垂直的两个向量的数量积为0，尝试化归与转化为抛物线的焦点弦问题，解法1思路自然清晰.确定直线的条件为直线上的一点与方向或直线上不同的两点，解法1用直线的斜率来刻画方向，用焦半径公式（圆锥曲线的第二定义）来表示曲线上点到焦点距离.还能怎么表示？

（Ⅱ）由题意设FA，FB，FD，FE的有向线段的长度分别为t1，t2，t3，t4，设直线l1的方程为与y2=4x联立整理得同理得所

解法3：（Ⅱ）以F为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则轨迹C的极坐标方程为ρ=则|FA|=所以≥16，当且仅当θ=时取等号，即k=±1.

解法1为通性通法，需要学生理解并灵活运用平面向量运算法则，明确解析几何相关问题的求解思路，熟悉几何性质及有关定义，通常计算量较大，需要一定的运算能力，解法2与解法3分别利用直线的参数方程与抛物线的极坐标方程表示长度，充分展示了参数t，ρ等几何量的意义与作用，更具针对性.在该试卷中还有类似问题：已知椭圆C1的焦点与双曲线C2：-y2=1的焦点相同，且双曲线C2的渐近线与椭圆C1在第一象限内的交点为M若过椭圆C1的左焦点作互相垂直的两条直线，分别与椭圆C1相交于A、C和点B、D，则四边形ABCD的面积的最大值与最小值之差为_________.

反复地暗示引领我们解题要因地制宜，突破思维定式，方法与结论可拓展到一般情形的圆锥曲线，本文不再赘述.

为什么学生会出现大面积的错误，说明学生缺乏理性思维.曲线与方程反映了曲线C（满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与（一元二次）方程的实数解的一一对应关系，本质上为两个对象的充要条件（等价关系）的判定与证明.积累的经验、结论为方法的发现、操作的实施提供了可靠的直觉，能否“对号入座”还需逻辑比对、思辨来确认.学生的错误根在课堂，教师教学中不注重概念的分析与理解，案例多从正面灌输，缺乏反面反思、提炼与提升.对于有关抛物线的轨迹问题，文献［2］多处出现，罗列如下（解答略）：

1.（P73例3）点M到点F（4，0）的距离比它到直线l：x+ 6=0的距离小2.求点M的轨迹.

2.（P73练习2第4题）平面上动点M到定点F（3，0）的距离比M到直线x=-1的距离大2.求动点M满足的方程，并画出相应的草图.

3.（P76习题3-2A组第1题）点M到点F（3，0）的距离等于它到直线的x=-3距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？

4.（P76习题3-2A组第5题）点M到点F（2，0）的距离比它到直线x=-3的距离小1.求点M满足的方程.

例3已知函数f（x）=

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最大值；

（Ⅱ）若两不等的正数m，n满足mn=nm，函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f

本题为宿州市2016届高三第一次教学质量检测数学理科第21题，考查导数的运算、利用导数求函数的单调区间与最值、构造函数的方法，考查运算求解能力，通过逆用函数单调性将函数值的关系转化为自变量的关系，考查利用化归与转化思想分析解决问题的能力以及综合分析求解实际问题的能力.命题组提供的答案如下：

（Ⅱ）证法1：不妨设0

由（Ⅰ）知，函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以要证f姨<0，只要证，即只要证m+n>2e.

因为02e-m.

因为1e，又n>e，f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以只要证f（n）

令g（x）=（2e-x）lnx-xln（2e-x）（1

图2　

大部分学生能分析出等价目标m+n>2e，也明晰本题为极值点“偏移”问题（如2011年高考辽宁卷理科第21题，2013年高考湖南卷文科第21题等），第（Ⅰ）问中少数学生混淆了lnx与lgx，第（Ⅱ）问中不少学生不清楚对数的基本功能无法对mn=nm变形化归，化归后构造函数应尽量把自变量的范围控制在（1，e），从而确保2e-x为正数顺利实现分式整式化，本题用等价式判断g′（x）符号相对麻烦，通过重新审视、估测确定用加强式.

点评：函数的单调性是中学数学的核心概念，必修1强调了单调性概念的理解，选修2-2强化了导数是判断单调的强有力的工具，以便我们能处理更多较为复杂的函数问题.极值点“偏移”是实现函数图像由对称向不对称跨越，借助单调性实现化归的典型问题，在集体备课时进行过专题研讨，但个别教师认为该问题难度较大而不深入钻研领悟，从学生解答中反映出学生根基不稳，解题方向不明（没有领悟问题的本质），逻辑关系不清，求异、求简意识不强等问题.下面给出两种证法：

证法2对g′（x）（h（x））求导确定其单调性及符号，进而确定函数g（x）的单调性与最值，证法3利用（对数平均不等式）结论合理化归.

二、教学感悟

1.界定“核心素养”，明晰培养方向

关注“核心素养”的培育是目前世界各国基础教育理论研究和实践变革的重大趋势.基础教育课程改革的方向为培养与提升学生的核心素养，（我国界定的）核心素养是指“学生在接受相应学段的教育过程中逐步形成起来的适应个人终身发展和社会发展的人格品质与关键能力”［3］什么是素养？素养就是指一个人的素质和修养，是个人的才智、能力和内在涵养，是才干和道德力量的综合.素养中存在着某种核心的要素，而并不是具体的某种才能或品德，而是理性和理性精神.当一个人建立了理性和理性精神，其才干和品德就会自我提升，素养水平就会越来越高.［4］黑格尔说：“一个志在有大成就的人，他必须知道限制自己，反之，那些什么事都想做的人，其实什么事都不能做成，而终归于失败.”一个富有理性的人，恰恰更有希望成为一个情感丰富和有力量的人，因为他能将情感置于理性的控制之下.《普通高中数学课程标准（实验）》规定应使学生“具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观”.崇尚数学的理性精神，主要体现在崇尚数学的求实、求真、求简、求新的精神.

2.深化教材理解，发挥教材功用

例1不仅暴露了学生思维定式，更反映出学生阅读理解的缺陷.未来社会充斥着信息网络、多元文化，需要公民掌握先进的科学技术，必先掌握文字工具（读、写、算的基本能力），一个连文字工具都没掌握的人，定然无法打开科学技术的大门，也无法生存于现代社会.教材是文字表述的典范，理应在教学中发挥更大的作用.数学是思维之科学.陶行知先生说过：“行动生困难，困难生疑问，疑问生假设，假设生试验，试验生断语，断语又生了行动，如此演进于无穷.”设疑讲究方法，问题既不能让学生高不可攀，也不能让学生唾手可得，而应开发学生的“最近发展区”，让学生“跳一跳”开动大脑积极思维，而后获得正确的结论.教材作为知识、思想方法的载体，承载着无尽的功能.教师要树立正确的教材观，敬畏教材，开发与利用教材，充分发挥教材的示范功能.

3.落实终身学习，奠定长远发展

尽管基础教育得到了长足的发展，但凸显的弊端与社会发展的矛盾无法调和，这也是教育改革的必要性与动力.与培养学生核心素养背道而驰的是教育功利化，师生为了在高考中取得好分数而想方设法，如统计分析选考题得分情况，只讲授得分高的模块，反复进行“点对点”训练；在高考复习备考后期针对选择题、填空题强化特殊技能演练，尝试低能谋取高分；放弃压轴题来提高其它题的成功率等，导致学生试卷得到的分数无法准确反映出学生的真实水平.因此，我们要立足当下，寻找差距，着眼发展，在现实与理想的中间地带做足工作.“学生的头脑并不是一个要被填满的容器，而是一支需被点燃的火把”，数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部与整体的关系，引导学生感受数学的整体性.如在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则除利用一般与特殊的关系，用直角三角形或等边三角形特例求解外，还可谋求构造性求解，如从2b=a+c>b联想椭圆，借助极坐标来推证.因此，教师要养成勤学善思的习惯，才能在教育新形势下立于不败之地，才能驾驭课堂，实现以问题为载体，强化探究，让学生在体验中夯实知识基础，感悟思想方法，学会理性思维，感悟理性精神，全面提升素养.

1.严士健，王尚志，主编.普通高中课程标准实验教科书·数学3（必修）［M］.北京：北京师范大学出版社，2014.

2.严士健，王尚志，主编.普通高中课程标准实验教科书·数学2-1（必修）［M］.北京：北京师范大学出版社，2014.

3.钟启泉.基于核心素养的课程发展：挑战与课题［J］.全球教育展望，2016（1）.

4.郑杰.教师核心素养的“核心”是理性精神［J］.今日教育，2015（11）.

5.谢建金，董荣森.揭示数学本质，发展学生思维能力——以“导数在研究函数单调性中的应用”教学设计为例［J］.中学数学（上），2016（4）.Z