从一次调研测试谈谈类比推理的教学

筅江苏省苏州实验中学　丁益民

从一次调研测试谈谈类比推理的教学

筅江苏省苏州实验中学丁益民

一、从一次调研试题的解答情况中发现问题

前不久，我校高二年级组织了一次调研测试，在试卷中命制了如下三道试题：

题1在平面内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=.运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=_______.

图1　

题2如图1，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π（R2-r2）＝（R-r）×2π×所以，圆环的面积等于以线段AB＝R-r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M＝｛（x，y）|（x-3）2＋y2≤4｝绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________.

题3物理学家开普勒说过：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密……它应该是最不容忽视的.”我们要重视“类比”在解题中的应用，比如，遇到“的结构时可类比正切的和角公式.请运用“类比”思想解答下列问题：

三道试题的命制旨在调研“类比推理”的教学情况，试题在设计上由简单到复杂进行多维考查——先是对已有命题进行简单的形式化类比，再到对已有命题中的有关数学“元素”（对象、概念、尤其是思想方法）的认知进行思想方法的类比，最后上升至能自觉并创造性地运用类比思想进行学习活动.

通过统计与调查，测试题的基本情况如下：

题号得分情况情况反馈1均分4.63分（满分5分）大部分学生反映较易，仅需类比已知命题的形式进行相关数据的运算即可. 2均分1.85分（满分5分）未能解答出此题的学生反映：（1）未能真正读懂已知命题的数学意义；（2）不会将已有命题中的“对象”（矩形）类比出新的“对象”（圆柱）；（3）不能运用已有命题的信息获得类比出圆柱的高. 3均分7.66分（满分16分）大部分学生得分在第（1）问，但有近一半的学生没有借助提示语（遇到“x+y 1-x y”的结构时可类比正切的和角公式）进行解题，而是直接凭已有经验将“tan11π 15”直接运用和角的正切公式展开后切化弦进行求解；对于第（2）问，很多学生表现出没有思路，未能寻找到合适的类比“源头”.

结合上表，访谈部分教师，可见当前“类比推理”的教学现状是：

（1）没有形成相对完整的类比推理体系，对常见同构对象的关联缺乏分析.比如，“等差数列”与“等比数列”之间的类比更多地凭直觉类比，不能选择恰当的视角分析两个数列在运算上的关联与区别，进而不能准确地进行相关的类比推理.

（2）类比过程机械程式化，类比结果浮于表面形式，缺少思想内涵的分析.比如，将平面几何与空间立体几何之间的类比简单地认为只要将“2”改成“3”，如“在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1.类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有______.”很多学生简单地改写为“cos2α+ cos2β+cos2γ=1”、“cos3α+cos3β+cos3γ=1”等错误结论，其原因就在于不能发现平面几何结论中的思想内涵，不能准确地将其中的思想方法拓展到空间中去.

（3）类比推理的教学定位偏低，没有凸显出类比推理的思维过程和思维价值.比如，有些教师试图通过几道题的讲解与训练就认为完成了“类比”的教学目标，然后让学生云里雾里地去“依葫芦画瓢”，在这样的教学中，学生获得的认知显然只是类比的“外壳”，对类比推理的理解几乎就停留在表浅形式的模仿层面.

二、从教学定位、认知困难角度分析问题

1.“类比推理”的教学目标定位

类比推理，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也有相似或相同的推理方法.类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.类比推理是一种富有创造性的逻辑思维，数学家波利亚曾将类比推理比喻为“伟大的引路人”.

笔者认为，在教学中应充分发挥类比推理的教学价值——不仅要让学生能根据已知的概念、性质、结论等进行类比，得到新命题，获得新结论，更重要的是通过推理的学习形成类比的思维方式，并能主动运用类比的思想解决问题.那么，类比推理的教学定位应该是以形成完整规范的类比思维而展开教学活动，充分认识类比思想的科学价值.显然这是一个由低到高、逐步认知的螺旋上升过程，这样的递进过程为：首先能通过简单的类比推理案例感受类比的思维过程，再到从已有命题中发现“思想方法”后进行内涵性类比，最终形成科学的可操作的类比思维，并能运用于研究具体问题中去.

2.“类比推理”认知困难分析

根据教学内容的特点以及学生的学习经历和认知结构，造成“类比推理”认知困难主要有以下原因：

（1）长期形式化的推理方式的影响.就内容而言，归纳推理注重的往往重在某个（类）形式化的结论，比如等式、不等式的归纳猜想，而类比推理的思维起点是从已有结论中发现承载的思想方法或数学操作方式，思维的要求明显更复杂.学生从小学起就频繁接触“归纳”（如找规律），从形式上进行归纳推理已成为他们进行推理的主要思维方式，他们不知不觉地将这样的方式惯性地用到类比推理中去，将两者的思维过程等同处理.类比推理往往不是简简单单地将结论进行形式化改写，而是对思维对象中相关思想方法进行过程性类比，简单机械的形式改写得到的结论根本就不具有科学性，只有关乎问题本质的类比才是类比推理的核心所在.

（2）缺少具体可循的操作系统支撑.从认知系统来看，类比是两个具有同构关系的模型之间的推理，尽管学生可以在书本、作业习题中接触到一些类比问题，但对于常见的同构模型，特别是零散在各个知识单元中的类比内容，由于没有具体的操作系统可供参考，导致学生在进行类比时更多地凭感觉去臆想，增加了类比结论的盲目性.同时，从上面调研测试的反馈情况可知，对类比对象中的内涵认识缺乏也是学生觉得类比推理困难的原因之一.在进行类比推理时，首先要找出两类对象间已经明确表征的相似属性，但有些学生对此认识模糊不清，凭空乱想，停留在“只可意会，不可言传”的懵懂状态.如上面的题2，很多学生错的原因就是没有找到已有命题中的“化不规则为规则”、“化曲为直”的思想内涵，从而不能将此转化为进行类比的信息源头，导致类比的思维过程失败.

（3）教学方式的“简单粗暴”.实际教学似乎更加关注类比的结论，而对类比的过程以及过程中内涵分析却不肯花时间，这就不难解释为何很多学生的类比只停留在“形似”的表象，而非真正意义上的类比.我们不应该纠缠于表面的“形式”，适度形式化，重在提高类比过程的分析，特别要重视引导学生从已知命题中寻找类比信息源的思维过程，引导他们分析两类同构对象的相关属性（维度、运算、定义、法则等）的差异与联系，并尽可能地引导他们寻找常见同构对象可进行类比的基本单元.

三、类比推理教学中的两点建议

1.建构明确的类比模型系统

任何知识都不是孤立存在的，知识间的相互作用下形成了一个复杂的庞大系统.缺乏体系的数学学习，学生获得的往往是孤立的个体，缺乏体系的学习，将是盲目的学习，低效的学习.

就类比对象而言，可将其粗分为系统间的类比与系统内的类比.系统间的类比是指两个不同知识系统之间在概念、结构、性质等方面较为完整的类比，比如等式与不等式、数量与向量、平面几何与立体几何之间的类比等；系统内的类比是指同一知识系统之内的两个不同对象在某些方面的类比，如实数运算中的加法与乘法、数列中的等差数列与等比数列、圆锥曲线中的椭圆与双曲线之间的类比等.

在教学中，不仅要明确了类比对象的区别，还要明确类比对象的相似特性，特别是推理过程中是从哪些已知的“相似性”推出未知的“相似性”，并引导学生将其中的“相似性”用准确的数学语言表征出来，形成运用类比推理解决某一类对象思维范式.比如，平面几何与立体几何的类比中，可引导学生从“维度”的角度建立起相关相似性；数列中的等差数列与等比数列的类比中，可引导学生从“运算”的角度建立其相关相似性.

从平面几何与立体几何之间的不同对象、不同测度在“维度”上的差异建立关联

通过指数运算与对数运算沟通等差数列与等比数列在运算上的关联

只有在学生头脑中形成较为明确的模型系统及相似性的表征方式，才有可能在类比时根据不同的模型迅速找到类比推理的正确途径，从而形成正确有效的思维过程.

2.注重类比推理的过程性教学

类比推理不仅是结论的类比，更是思维过程的类比.在教学中，我们不仅要鼓励学生根据类比对象的相似性及类比规律进行大胆猜想，得到最合理的结论，还要要求学生对类比的思维过程进行分析，理性地去检验类比结论的正确性.这个检验的过程有时可能会是漫长而曲折的，而且当猜想的结论不成立时，还需根据“类比”过程进行分析并作出相应的调整与改变.

类比思维的形成需要一个长期的过程，这就需要在教学中有意识地运用“类比”进行教学组织，选择具有同构特征的认知素材进行“类比”，让新知的获得建立在熟悉的先行组织者之上，使得知识的生成更加的理性与饱满.比如，在“二面角”的教学中，我们就可以运用“类比”进行概念的建构.

组织材料组织方式新的认知需求1.之前怎么定义“角”？类比现在怎么定义“二面角”？2.1静态定义中有哪些元素？（顶点、两条射线）按此方式，“二面角”需要定义哪些元素？2.2旋转定义中有哪些元素？（始边、顶点、终边）按此方式，“二面角”也需要哪些元素？3.角怎么画？（形的表征）二面角怎么画？4.之前角怎么表示？（形的具象）同样的方式，二面角怎么表示？

由上表可以看出，从学生原有认知中的“角”出发，通过类比的思维方式获得了“二面角”概念，学生对“二面角”的建构更多的是理性认识，对“类比”水平的提升与教学价值也将得到相应的提升.

1.潘红玉.类比推理让规律探究更深入——由一则教学案例谈起［J］.中学数学（下），2015（4）.

2.濮阳康和.类比推理的难因分析及教学策略［J］.数学通报，2012（11）.Z