“求同存异”在数学课堂教学中的应用

巩明志

“求同存异”是对研究对象采用比较的方法，确定其与另一事物的相同点和不同点，也就是求同、求异.比较是数学教学的重要手段，是学生理解和掌握知识的重要方法，“有比较才有鉴别”.求同存异是研究问题的方法，也是比较的目的.在比较中可以认识事物发展的一般规律，也可以在比较中找到差异，从而将事物从本质上区别开来，促进了认识的深化.在高中数学中，许多内容是既有区别又有联系的.教师如果在课堂教学中能充分利用比较的方法，求同存异，就会有助于突出重点、突破难点，使学生容易接受知识，掌握方法，形成能力.学生掌握了比较法的学习方法，就会激发他们学习数学的兴趣与积极性，同时也能培养学生的创新思维能力。

一、求同存异有助于基本概念的建立

数学中的基本概念都源于对生活事实的认知与抽象.求同存异是这一过程的基本认知方法，它可以加深对概念的理解和记忆，明确概念的内涵和外延，从而正确地运用概念.比如函数概念的构建过程，就是通过大量实例的研究，寻找发现他们的共同点：都有两个变量x，y；有确定的对应关系；对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应.如果去掉实例本身的现实意义、几何意义等，就可以抽象出函数的概念.导数概念的获得也是通过大量的实例分析，求同存异，引出了函数的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成了导数的概念.利用导数的定义求函数在某一点的导数包含着函数平均变化率的求法，揭示了函数平均变化率与函数瞬时变化率之间的关系，进一步体现了求同存异的思想和方法.还有在等差数列概念的教学时，可以让学生研究下面的例子，找到有相同特征的例子。①1、2、3、4、5、…②1、-2、-5、-8、-11、…③2、4、6、8、10、…④1、2、4、8、16、…⑤、1、、、、…

学生通过研究发现①②③⑤中，都有an+1-an=d.虽然各个例子中的d值不尽相同，但他们有一个共同特征，均为常数，从而形成了等差数列的概念.知道了概念的来源，加深对概念的理解和掌握。

二、求同存异有利于简化知识理解，帮助记忆

某些数学知识虽然表现形式各不相同，但具有相同的本质属性.因此利用求同存异的方法，探求其相同点，能够达到化繁为简、增强记忆、事半功倍的效果.如三角函数中有2kπ±α，π±α，-α，±α，±α等众多诱导公式，其数量大、易混淆、难记忆，使得学生望而却步.如果运用求同存异的方法对其进行研究，就会发现这些公式的变换无非是函数名称与符号的变化.2kπ±α，π±α，-α三组公式中，函数名称不变；±α，±α两组公式中，函数名称变化；所有公式中的符号可由角度所在象限决定.而且通过进一步的研究发现，五组公式中的角度都可以表示成±α（k∈Z），从而将众多诱导公式的变化过程简记为：奇变偶不变，符号看象限.即当k为奇数时，函数名称变化；当k为偶数时，函数名称不变化；符号由角度所在象限决定.三角函数中的和（差）角公式又是学习的一个难点，研究发现，只有公式Cα+β是需要用其他知识推导得出的.Cα-β，Sα±β，Tα±β是以Cα+β为基础，通过三角变形而得到的.因此，只要记清楚Cα+β，其他公式的获得只需应用三角函数变换.求同存异的应用，从本质上对知识进行了甄别、理解和把握，大大减少了知识的数量，提高了记忆的质量和学习的效率。

三、运用求同存异辨析相对及易混的概念，加深对概念的理解

高中数学中存在很多相对的、易混淆的概念.如函数与映射、指数与对数、等差与等比、椭圆与双曲线等等.有学生将函数与映射区分不开来，混为一谈.其实运用求同存异的方法，不难发现他们的共同点是：确定的对应关系；对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应.不同点是：函数是两个非空数集之间的关系，而映射可以是数集与数集、非数集与非数集之间的关系.因此，函数是一种特殊的映射，映射不一定是函数.指数函数与对数函数在图象和性质上有很多相似之处，易于混淆.教学时运用求同存异的方法，相互比较，找到他们的相同点与不同点，认识其本质属性，加深对概念的理解。

四、运用求同存异探求问题的解決方法

数学中的新知识是建立在旧知识基础之上的.在学习新知识的时候，如果运用求同存异的方法，就会从旧知识中发现解决新问题的方法，以及学习新知识的方法.如学习指数函数之前，已经学习了一般函数的图象和性质.指数函数是函数，那么学习指数函数就可以从解析式、定义域、图象、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等方面来研究.如研究指数函数单调性时，通过画函数 y=2x，y=3x，y=

x，y=

x的图象，求同存异，发现函数y=ax（a>0且a≠1）中，当a>1时，是增函数；当0

总之，求同存异为学生的自主学习提供了思路和方法，使学生能更好地进行数学探究、数学建模等学习活动，极大地激发了学生学习数学的兴趣和他们的创新思维.

注：本文系2017年度甘肃省“十三五”教育科学规划课题《在数学课堂教学中运用“求同存异”培养学生创新思维能力的研究》成果，课题立项号：GS[2017]GHB1106。

编辑 李琴芳