排列组合的常用方法

郑国鹏

摘 要：排列组合是高考的重要内容，它是概率与统计的基础，广泛运用于概率统计的计算当中，且在日常生活中也有重要的实际意义。在近些年的高考数学试卷中，考查比例越来越高，所以掌握排列的常用方法十分必要。主要讲述有关排列组合的常用方法。

关键词：排列；组合；方法

一、特殊元素、特殊位置优先考虑法

例如：1名教师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种？

解：法1：先考虑特殊元素“老师”有A1

3种排法，再把4名学生排在余下4个位置有A4

4种，共有A1

3·A4

4=72种

法2：先考虑特殊位置“两端”，即从4名学生中选2人排在两端有A2

4种，再把剩下两名学生和老师排在其他3个位置有A3

3种，共有A2

4·A3

3=72种

二、相邻问题用捆绑法

例如：5人排成一排，其中甲乙必须排在一起，有几种排法？

解：把甲乙两人捆绑看成一个大元素，与其他三人组成4个元素全排列有A4

4种，其中甲乙两人内部排列有A2

2种，共A4

4·A2

2种。

三、不相邻问题用插空法

例如：5人排成一排，其中甲乙不排在一起，有几种排法？

解：要求不相邻的甲乙两人先不排，其他3人先排有A3

3种，再把甲乙两人插在3人组成的4个空档中有A2

4种，共有A3

3·A2

4种。

四、定序问题用除法

例如：5人排成一排，其中甲、乙、丙三人排序一定，有几种排法？

解：如果没有要求排序一定，则有A5

5种，其中包含有甲、乙、丙三人的全排列A3

3种，而甲、乙、丙三人一定的排序只是A3

3其中的一种，即只占，所以共有A5

5·=种

（此种问题归结为用没要求时的全排列种数除以要求定序的个数的全排列种数。）

五、正难则反法（也叫间接法、排除法）

例如：5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要排成一个节目单，要求前四个节目中要有舞蹈，有几种排法？

解：本题若直接考虑则情况比较多，可从反面考虑，即先求出前四個节目中没有舞蹈的排法种数有A4

5·A4

4种，而没任何要求的排法种数有A8

8种，所以共有A8

8-A4

5A4

4种。

六、组合中的平均分组问题

1.全部平均分组问题

例如：6个人分成3组，每组2人有几种分法？

解：=15种。若改为分成2组，每组3人，则有种，应多体会。

2.部分平均分组问题

例如：6名运动员分配到4所学校担任教练，每校至少一人，则分配方法有几种？

解：6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少一人，有以下两类情形：

第一类：4所学校分到的运动员各有3、1、1、1人，这样的分法一共有：（C3

6·）·A4

4=480种；

第二类：4所学校分到的运动员各有2、2、1、1人，这样的分法一共有：（·）·A4

4=1080种；

根据分类计数原理可得：6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少一人，有480+1080=1560种分法。

（以上两类情形中均采用“先分组后排列”的思想方法，即6个人先分成4组再把这4组分到学校，其中分组时出现了部分平均分组，处理方法跟全部平均分组类似。）

七、组合中的隔板法（此法适用于没有区别的元素的分配问题，常见的有名额分配、相同小球的分配等）

例1.20个相同的小球放入4个不同的盒子，每盒至少一球，有几种放法？

解：先把20个小球排成一排，由于球都是相同的，所以只有一种排法；再在20个小球之间的19个空档中插入3个隔板，有C3

19种不同插法。所以共有C3

19种放法。

例2.20个相同小球放入4个不同的盒子，有几种放法？

解：本题与上题的区别是每个盒子不一定都放球，此时也可以用隔板法。将20个小球与将要插入的3个隔板看成23个元素，放在23个位置上。问题简化为在23个位置上选出3个位置放隔板，其他20个位置都放球，有C3

23种不同放法。

例3.20个相同小球放入4个编号分别为1、2、3、4的盒子，要求每盒中的球数要大于其编号数，有几种放法？

解：先在4个盒子中放入与其编号相同数目的小球，因为小球都相同，所以只有一种放法，还剩下10个小球，此时再利用隔板法将剩下的10个小球放入4个盒子中（此时要求每个盒子都要再放球）有C3

9种，所以共有C3

9种。

例4.20个相同小球放入4个编号分别为1、2、3、4的盒子，要求每盒中的球数不小于其编号数，有几种放法？

解法1：先在4个盒子中放入与其编号相同数目的小球，因为小球都相同，所以只有一种放法，还剩下10个小球，此时再利用隔板法将剩下的10个小球放入4个盒子中（此时没有要求每个盒子都要再放球）有C3

13种，所以共有C3

13种。

解法2：先在编号为1、2、3、4的四个盒子中分别放入0个、1个、2个、3个小球，因为小球都相同，所以只有一种放法，还剩下14个小球，此时再利用隔板法将剩下的14个小球放入4个盒子中（此时要求每个盒子都要再放球）有C3

13种，所以共有C3

13种。

编辑 张珍珍