高认知水平数学教学任务及其实施

王静+胡典顺

【摘要】高认知水平的数学教学任务有助于学生学习数学知识，体会数学思想和数学方法，发展数学思维.教师应该弄清楚高认知水平数学教学任务的概念、对学生的要求、特征以便确定合适的高认知水平数学任务来进行教学；也应该熟悉高认知水平数学教学任务的实施方式，从而提高课堂教学效率.在高认知水平的数学任务教学中，应该注意保持任务的高认知要求；转变教师的教学观念；发挥学生的自主性.

【关键词】高认知；数学任务；课堂教学

1问题提出

高认知水平数学教学任务为学生提供了运用高水平思维和推理的机会，日复一日，学生从高水平任务中体验到的累积效果，就在于学生对数学本质的认识得到潜在的发展，创新精神和创造能力得到提高，低认知水平数学教学任务几乎不可能产生高水平的参与[1].低认知水平的数学教学任务是数学学习的基础，高认知水平的任务建立在低认知水平任务的基础上，但是，为了让学生掌握好具有高度抽象性、严密逻辑性、广泛应用性的数学学科，教师在教学中精心安排高认知水平的数学教学任务是有必要的，鼓励学生进行高层次的思维和推理，学生在课堂中才能得到更多的收获.高认知水平的数学任务可以促进学生运用数学符号和数学语言对任务情境进行建模，从而学习数学知识，体会数学思想和数学方法，发展学生的数学思维；教师可以通过高认知水平的数学教学任务把课程标准中所倡导的基本理念融入到数学课堂中，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，鼓励学生养成独立思考、积极探索的习惯.

2高认知水平数学教学任务的概述

2.1概念界定

数学任务是将学生的注意力集中于某一数学内容相关的一系列问题或一个复杂的问题的数学活动[2].数学任务可以通过把学生的注意力引向特定的内容来影响学习者，任务不仅决定了学生学习什么，还决定了他们怎么思考、发展、理解和运用数学，数学思维来源于学生解决、完成一系列任务，而不是一步一步地跟着老师的教学.学生对数学任务的认知水平取决于他们成功参与并完成任务所需要思维的种类和水平，从低到高可以分为以下水平：记忆型（只是对以前的知识简单回忆）、无联系的程序型（提供解决问题的公式、步骤，与意义不相关）、有联系的程序型（注重选择解决问题的程序，与意义有关）、做数学（需要研究问题的内在结构，需要进行复杂思考的数学活动），把记忆型和无联系的程序型归类为低认知水平类型的任务，有联系的程序型和做数学归类为高认知水平类型的任务[3].

2.2对学生的要求

高水平的数学教学任务对学生具有如下要求：

2.3特征

从以上所述的含义及对学生的要求中可以发现，高认知水平的数学教学任务应该具有以下特征：

（1） 情境性.那些与学生生活经历相关的、能激发学生学习兴趣的数学教学任务是具有情境性的，任务情境能使学生把情境与数学知识联系起来、促进学生完成高认知水平的数学任务，枯燥的、没有情境的数学任务很难让学生融入于探索知识的过程中.

（2） 开放性.高认知的任务是开放式的，包括思维的开放性，具有多种可行的答案、多种解决方案、能产生许多课堂讨论的机会，不同认知水平的学生在这种开放式的学习环境中能得到适合自己的学习机会，从而参与在任务解决的过程中、积极思考并完成课堂任务.

（3） 探究性.高认知水平的任务教学中，强调学生探索、理解数学概念、过程、关系，这是一个探究过程，要求教师引导学生自主学习、深入探究、合作交流.任务的探究特性支持学生思考、让学生监督自己的学习、模仿高水平的行为、促进推理和论证、探究概念之间的联系.

（4） 任务长度方面，在一堂课中，数学教学应该是围绕一个主要的、复杂的任务或者几个相关的、有层次的、逐渐深入的小任务展开的，因此，教学任务的长度不应该过长，否则，难以为学生创造深入探索并进行复杂思考的氛围.

（5） 多种表征方式.表征方式包括文字、符号、图形、模型、实验等，所设计的高认知水平数学教学任务可能是用多种方式来表征的，或者任务的解决需要用多种方式来表征.用不同的形式去表征同一个数学内容，有利于学生更深刻的理解数学任务、更透彻的理解相关数学知识，这也是设计高认知水平任务很重要的一个目的.

（6） 要求概括.不管是让学生依据概括性强的、一般性的程序来探究任务，还是设计任务让学生在做数学中学习，高认知水平的数学任务都要求具有概括性，这有助于学生发展抽象思维，也能促进数学知识、技能的迁移.

3高认知水平数学教学任务的实施

3.1课前任务分析

在进行高认知水平数学任务的教学之前，教师应该仔细分析高认知水平数学任务中的数学课堂目标、任务的解决方法、任务的关键情境特征、任务的关键数学思想、一般性语言的使用、保持认知需求等因素，这是保证高认知水平数学教学任务有效实施的前提.其中，课堂目标是一堂课的出发点，其他的环节都是圍绕课堂目标来展开的；分析任务的多种解决方案及学生可能想到的解决方案有利于教师掌控课堂，是形成良好的课堂讨论氛围的基础；高认知水平的任务通常涉及到真实情境，这些情境可以用来帮助学生对特定数学思想的推理论证；在不向学生暗示解决任务所需要的特定方法和步骤的情况下讨论关键的数学思想是很重要的；使用一般性的语言有利于学生在小组合作和班级讨论中更好地与其他人交流，教师可以使用恰当的策略来促进学生使用一般性的语言，如：强调特定的观念、接受学生的语言、让学生用自己的话描述关键的东西、让学生复述其他同学所说的内容等；保持高认知需求的途径在于避免向学生建议使用某种特定的解决方法，否则会剥夺他们想出自己的解决方案、理解数学的机会.

在上一堂课之前，教师应该设计好有针对性的问题来引导学生找到任务的解决方案，而不是直接告诉学生一个特定的解决方案、给他们机会执行程序，当学生提出疑问，如果教师有准备好的答案来帮助学生继续解决任务就可以提高课堂效率，学生很快就能找到解决问题的切入点[4].因此，教师认真思考以下问题（见表2），有助于掌控课堂及准备好相应的回答.

3.2课堂实施步骤

数学课堂的实施有各种各样的形式，而对于围绕高认知水平的数学教学任务展开的数学课，采用向学生介绍任务、学生解决任务、教师引导学生进行报告和集体讨论的形式是最合适、最有效的.

（1）引入任务

第一个阶段的任务介绍是非常关键的，教师引导课堂讨论、帮助学生参与任务并学习重要的数学知识、鼓励学生积极努力地找到任务的解决方法，这个过程一般不超过十分钟.当一个高认知水平的任务启动得好，学生积极参与任务解决的过程中，与此同时产生的许多解决方案可以形成课堂讨论的基础.教师可以提供与任务相关的情境或提出与任务相关的问题来引入要解决的任务，可以通过让学生把自己想象成为情境的参与者并分享他们所知道的东西或者给学生观看与情境相关的图片，问学生看到这些图片能想到什么东西，从而把任务情境与学生熟悉或感兴趣的人物、地点或事件联系起来，充分调动学生解决任务的积极性.当学生的注意力已经融入课堂时，向学生介绍本堂课需要解决的任务，并对任务进行分析，以确保学生能正确理解任务的要求.

（2）解决任务

教师向学生介绍任务之后，学生开始以小组讨论、合作交流的方式解决任务.在这个过程中，教师不是讲授知识或呈现任务解决的方法，而是以引导者、合作者、促进者的身份，帮助学生参与任务并学习重要的数学知识，融入各个小组的学生活动中，与学生讨论、帮助学生更好地理解数学知识.在解决任务的过程中，教师以提问的形式，帮助学生开始执行任务或进一步完成任务；把学生的思维引到任务中关键的数学知识上；帮助学生理解关键的数学思想、问题解决的策略或表征方式；促进学生进一步理解数学知识.只有当学生积极有效地参与在任务中，才能发挥他们的潜能，一堂课的重要数学思想和数学知识可以通过学生的小组讨论或师生之间的互动呈现出来，如果学生能有效参与讨论的过程，他们就能从中学到更多.教师需要在教室中走动并观察学生自主探究的情况以便决定什么时候结束小组交流讨论、看看学生是否需要帮助以及需要什么样的帮助.在此过程中，教师要注意以下问题：对于那些在任务解决的过程中很快就失去信心，需要提供更多指导的学生，你会给他们提供什么样的帮助或者向他们提出什么样的问题？如果一个学生或一个小组很快就完成了任务，如何拓展任务来提供更多的挑战？如果一个学生或一个小组将注意力集中于活动的非数学方面应该怎么做？

（3）报告讨论

在高水平数学任务的有效实施中，不是由教师简单地与学生讨论任务所蕴含的关键数学知识、数学思想，而是由学生自己讨论得出，学生以报告的形式用自己的话描述任务解决过程中的收获是促进学习的有效方式[5].让学生对任务的解决过程进行分享、报告、讨论，这与解决任务的过程同样重要，时间分配也应该与解决任务的过程差不多，主要是安排集体讨论，通过讨论学生使用的不同任务解决方案来突出课堂中的数学知识与思想.教师要思考怎么安排班级讨论以便完成数学教学目标，对学生的报告提出问题，让学生详细阐述、讨论、并对所分享的任务解决方案提出质疑.教师也应该鼓励学生与其他同学分享自己的想法，帮助学生理解其他人的想法，指导他们寻找所呈现的不同方案、策略之间的联系，寻找模型并进行概括.在学生报告的过程中，教师要注意以下问题：如何确保每一个学生都有机会与其他同学分享他（她）的思考与推理过程？如何判断班上的所有学生已经理解了你期望他们理解的数学知识？在这堂课的基础上，下堂课将会如何安排？

4对高认知数学任务教学的启示

4.1保持任务的高认知要求

具有高认知要求的数学任务是最难以圆满完成的，在教学中往往被转化为更低要求的问题，也就是说教师有时为了急于完成教学任务，会采取降低任务认知要求的行为[6].在高认知水平任务的教学中降低任务的认知要求显然会达不到预期的教学目标，为了使学生在数学课堂中积极参与数学活动，对数学知识理解得全面深刻，教师应该保持任务的高认知要求.课前要做好充分的准备工作，制定好课堂目标，思考任务的所有可能解决方案、任务的关键情境特征、任务的关键数学思想，思考如何促进数学课堂交流及学生的数学知识应用意识.课堂中如果碰到任务难以完成，教师可以适当减少任务的数量从而保证高认知水平任务完成的质量，而不是降低任务的认知要求以完成所有的任务.课后教师应该及时反思自己的教学过程与教学行为，以求不断改进、更好地实施高认知水平的数学任务、保持任务的高认知要求、顺利完成高水平任务的教学.

4.2转变教师的教学观念

高认知水平的数学任务要求学生用有联系的程序来促进对数学概念或数学思想的理解；

用多种方式来表征数学；进行复杂的、非算法性的思考；自主探索、理解数学概念；对自己的认知过程进行自我监督、自我调节；分析任务，积极检测可能限制解决方案、策略的任务约束并且做出大量认知努力.要使学生在课堂上的表现达到这些要求，有所收获，教师就要转变教学观念，不能重知识轻能力、重理论轻实践、重记忆轻思考，要构建平等、合作交流的师生关系，营造和谐开放的课堂氛围，鼓励学生积极参与任务解决、集体讨论的过程，把课堂交给学生，把整堂课最精彩的部分留给学生自主探究、自由发挥.把课堂留给学生并不意味着教师的角色无足轻重，相反，高认知水平任务的实施对教师的要求更高.

4.3发挥学生的自主性

高认知水平的数学任务的有效实施方式是在教师介绍、分析任务之后，在教师的引导下，学生自主探究，以合作交流的形式自主解决、完成任务，然后对任务解决的过程进行最后的课堂集体报告讨论，整个过程是以学生为中心，需要学生具有很大的自主性，需要学生积极主动地思考.教师是促进者、引导者的角色，对于探索、理解数学概念、过程、关系的本质；对自己的认知过程进行自我监督、自我调节；提取相关的知识、经验，并利用它们解决任务这些高认知水平任务解决过程中的重要环节都需要学生自主完成，因此发挥学生的自主性至关重要，决定着高认知水平任务实施的成功与否.教师可以在分析任务时与学生身边熟知的事物联系起来，激发学生学习的兴趣；让学生意识到学习本堂课数学知识的重要性；提高应用数学知识的意识等方式来激发学生自主学习.

参考文献

[1]袁志玲，陆书环.高认知水平数学教学任务的教学意义及启示[J].数学教育学报，2008，17（6）：37-40.

[2]Stein M K， Grover B W， Henningsen M. Building Student Capacity for Mathematical Thinking and Reasoning： An Analysis of Mathematical Tasks Used in Reform Classrooms[J].American Educational Research Journal，1996，33（2）：455-488.

[3]Smith M S， Stein M K. Selecting and Creating Mathematical Tasks： from Research to Practice [J]. Mathematics Teaching in the Middle School， 1998， 3（5）：344-350.

[4] Margaret S Smith， Victoria Bill， Elizabeth K Hughes. Thinking Through A Lesson： Successfully Implementing High-Level Tasks [J]. Mathematics Teaching in the Middle School， 2008， 14（3）：132-138.

[5] Kara J. Jackson， Emily C. Shahan， Lynsey K. Gibbons and Paul A. Cobb. Launching Complex Tasks [J].Mathematics Teaching in the Middle School， 2012， 18（1）：24-29.

[6]朱海祥.數学课堂教学任务认知水平的评价模式探究[J].齐鲁师范学院学报，2014，29（1）：54-59.