基本不等式的两种特殊应用——例谈“1”的代换

安徽 郭洪莉

(作者单位:安徽省蚌埠市怀远三中)

基本不等式的两种特殊应用
——例谈“1”的代换

利用基本不等式在求函数最值、求参数范围是高考的热点，深刻理解基本不等式以及会使用基本不等式是学生学习中的重点.本文就着重介绍运用基本不等式求代数式的最值类型中的两种特殊应用以飨读者.

一、 “1”的代换

(法3)∵a,b>0,a+b=1，

【评注】上述法1、法2都是两次使用了基本不等式，不等号也能同时成立，符合不等式传递性，求出来的最小值也是正确的，但是却不是此类问题的通法，因为等号成立的条件很脆弱，当已知条件稍微修改，如a+3b=1，那么等号成立的条件就丧失了；法三则只是用一次基本不等式，等号又能取到，不会出现法1、2的尴尬，是一个通法．

【评注】本题定值是以分式形式出现，目标函数则是整式.那么这里的“1”代到哪里去呢？显然是代到x+y的旁边，并与之相乘，即(x+y)ד1”.此种方法有人把它称为“1”的附乘．凡是定值不为1也可这样用，这种方法也经常用，此类题型同样是具体有如下特点：分式的分母之和往往与多项式相差一数．

当且仅当x=1,y=1时等号成立，

所以2x+y的最小值为3.

3 . 分母之和为常数是用“1”的代换的特征

【评注】本题要注意分式的分母x,1-x的整体特点，从而探索到隐含的条件：和为定值即x+(1-x)=1.

4.曲线过一点,为“1”的代换提供“定值”

【评注】对于一些结构复杂的的函数式，可以采用换元法，使得它们的特征“分母之和为定值”更加显现.

5. 隐藏在三角最值中的“1”的代换

【评注】“1”的代换的形式特征是分式的分母相加，可得到定值．分母相加，平方关系sin2x+cos2x=1，等，都可能提供分母之和为定值的条件．

二、似曾相识的“1”的代换

1.换元法可凸显“1”的代换的典型特征

【评注】待求式的分母较为复杂，研究双变元分式函数的最值问题，常用换元法.

2.含有不等关系m+n≤a的“1”的代换

3.“1”的代换在不等式恒成立中的应用

【评注】通过对原不等式的变形，最终化归成典型的“1”的附乘问题.

4.“1”的代换在数列最值中的应用

【解析】由a3=a2+2a1，可得q2-q-2=0，

【评注】均值不等式与数列知识交汇也是近年高考常考题，仍然是先求出和或积的定值，再用均值不等式，但要特别注意m，n为正整数这一条件，要细心考察等号是否成立.

(作者单位:安徽省蚌埠市怀远三中)