极值点偏移问题破解策略

湖北 聂文喜

(作者单位：湖北省广水市第一中学)

极值点偏移问题破解策略

近年来，一类以极值点偏移问题为背景的导数题在高考或模拟考试中频频出现，而学生对这类题的解答普遍感觉比较困难.笔者介绍几种常见破解策略，以供同仁参考.

策略1.构造差值消元

在求解一类以指数型函数为背景的极值点偏移问题时，由于此类问题中含有双元变量x1和x2，我们常常通过构造差值换元t=x2-x1，将二元变量x1，x2的问题转化为一元变量t的问题，从而达到降元减维的目的.

【例1】(2014·江苏省南通市二模·20)设函数f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1

(Ⅰ)求a的取值范围；

【解】(Ⅰ)过程略,a>e2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a>e2，且0

因为函数f(x)=ex-ax+a(a∈R)的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，

所以ex1-ax1+a=0， ex2-ax2+a=0 ，

因为f′(x)=ex-a，

令x2-x1=t，则x2=x1+t，t>0，

所以g(t)在(0,+∞)上单调递减，且g(0)=0，

【变式】已知函数f(x)=2ex-ax-2a(a∈R).设函数y=f(x)图象上任意不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)且x1f′(px1+qx2)(其中正常数p，q满足p+q=1且p≥q).

令x2-x1=t，则x2=x1+t，t>0，

所以g(t)在(0,+∞)上单调递增，且g(0)=0，

所以t>0时，g(t)>0，

又f′(x)在R上单调递增，

综上所述，k>f′(px1+qx2).

策略2.构造比值消元

将①式解得a代入上式得

【点评】令x2=x1t，把问题转化为一元变量t的不等式问题，然后构造关于t的函数，以导数为工具进行证明.

策略3.构造对称差函数

已知函数f(x)在定义域内有唯一极值点x=x0，且x1,x2是f(x)的两个零点或f(x1)=f(x2)，证明：“x1+x2>(或<)2x0”的极值点偏移问题时，我们常常将x1+x2>(或<)2x0转化为x2>(或<)2x0-x1，利用函数f(x)的单调性将证明x2>(或<)2x0-x1转化为证明f(x2)>(或<)f(2x0-x1)，再利用f(x1)=f(x2)得f(x1)>(或<)f(2x0-x1)，进而构造对称差函数g(x)=f(x)-f(2x0-x)(函数f(2x0-x)是函数f(x)关于直线x=x0对称的函数)，然后以导数为工具进行证明.

【例3】(2016·新课标Ⅰ理·21)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围；

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明x1+x2<2.

【解】(1)过程略，a>0.

(2)由(1)可知a>0，f(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，不妨设x11，因为f(x1)=f(x2)，所以x1+x2<2⟺x1<2-x2<1⟺f(x1)>f(2-x2)⟺f(x2)>f(2-x2).

令g(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+a(x-1)2-[-xe2-x+a(1-x)2]=(x-2)ex+xe2-x，x>1，

则g′(x)=(x-1)(ex-e2-x)>0，

所以g(x)在(1,+∞)单调递增， 所以g(x)>g(1)=0，即f(x)-f(2-x)>0，

所以f(x2)-f(2-x2)>0，所以原不等式成立.

【变式】(2010·天津理)已知函数f(x)=xe-x(x∈R)，如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2>2.

【解】f′(x)=(1-x)e-x，所以f(x)在(-∞,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减.

不妨设x2>x1，则x1<1，x2>1，所以x1+x2>2⟺x2>2-x1>1⟺f(x2)

令g(x)=f(x)-f(2-x)=xe-x-(2-x)e-(2-x)，x<1，则g(x)=(x-1)(ex-2-e-x)>0.

(作者单位：湖北省广水市第一中学)