一道江苏高考真题的探究引申及应用

湖南 石向阳 刘 丹

(作者单位：湖南省长沙市雅礼教育集团南雅中学)

一道江苏高考真题的探究引申及应用

一、试题呈现

在锐角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．

这是2016年江苏省数学高考第14题，填空题的压轴题．本题题意清晰，简洁明了，学生不需要花太多时间读题、理解题意，且解题思路常规、明了，符合考试大纲的要求．看似平常无奇的问题，却有着多样的解法、深刻的背景，完全可以考查出学生的知识面、计算能力等各方面的数学素养．

二、解法探究

解题的目标是求tanAtanBtanC的最小值，是一个多变元三角函数条件最值问题.解题大致方向有两个，一是函数最值，二是基本不等式.为叙述方便，令u=tanAtanBtanC.

【解法二】由sinA=sin(π-A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，又sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC(1)，

在(1)式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC(2)，

把(2)、(3)式代入u,可得

由A,B,C为锐角可得tanA>0，tanB>0，tanC>0，由(3)得1-tanBtanC<0，解得t>1.

三、解法点评

解法四和解法五是基本不等式的方法，比前三种解法显得更简捷，关键因素是用了一个重要结论：

对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

这个结论是和角正切公式的变形.课本有关于正切公式的变形的应用.相关的经典变式有：

2.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)·…·(1+tan44°)(1+tan45°)的值；

四、结论及推广引申拓展

【定理】在任意非直角三角形△ABC中,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

【推论1】若A+B+C=kπ(k∈Z),且tanA,tanB,tanC都有意义，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

五、应用举例

【例1】在△ABC中，已知lgtanA+lgtanC=2lgtanB，求∠B的取值范围.

【分析】此题直接入手很难，但注意到有类似b2-4ac≥0的形式，可用构造方程的方法解题.

而由万能公式得

【例5】已知△ABC为非直角三角形，∠A>∠B，且tanA=-2tanB，求tanC的最大值.

(作者单位：湖南省长沙市雅礼教育集团南雅中学)