由一道力学例题受到的启发

【摘要】讨论在应用虚位移原理时选择广义坐标应注意的问题，指出正确理解广义坐标的定义是正确选择广义坐标的前提。

【关键词】虚位移 广义坐标

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）10-0162-02

1717年，伯努利首先发现了虚功原理，而它的叙述是这样的：“受理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力学体系的诸主动力在任意虚位移中所做的元功之和等于零”即：

而在直角坐标系中写作

对自由度为s的力学体系：

式中q为广义坐标 ， Qa为广义力：

由于虚位移 独立，平衡方程： 在有关虚功原理的应用题中，坐标系的选择、广义坐标的选择、对广义坐标定义的理解、对虚功原理的理解均是很关键的问题。本课题试图通过对下面这道例题深入分析，总结出用虚功原理解题应注意的问题。例题如下：

（1）一根均匀细杆质量为m，搁放在一固定的半圆形容器内，在碗内的长度为b，求杆的长度l？（设杆的运动在铅垂平面内，所有的接触都是光滑的，圆的半径为 r且小于l）。

就这个例子来说，它可以说是一个平面问题，易知体系自由度S=1，若如下选择坐标系：由于棒的位置可由θ唯一被确定，所以易知体系自由度s=1，θ为广义坐标，棒所受主动力只有重力，则： Fx=0 Fy=mg

当体系处于平衡时，根据虚功原理易知：

因s=1取一个直角坐标系，若以y为广义坐标，则直角坐标可以用广义坐标表示为x=x（y）， y=y.因为 . 则： ，而在此式中广义力

由于δy是独立的，此时平衡方程为δy=0即： 在此有两种求解方法：（一）1）：当Fx≠0，Fy=0 时，平衡方程可化简为 2）：Fx=0，Fy≠0时，此时我们改写一般情况下的平衡方程 为： ，则此种看法的体系平衡方程为 =0.由此可见，在此处用虚功原理得到： ，得不出我们所要的结论。（二）若直接用 求解，由于 ，则 .由几何关系得： ...（1）

削去b得： ，取微分，当 =0时：

…（2）

联立（1）、（2）式则有： ，则：

由此可见，在以上两种求解中，第一种是y为广义坐标来求解的；所选原点是棒上的一点，而且是棒与碗接触的一点。而第二种则是以x，y为广义坐标求解的。所选原点是碗缘上的一点，也是棒和碗所接触的那一点，而且这一点是在碗缘上，所得出的结果是不一样的。由我们所求的结果来看，第一种求法是不对的，是因为广义坐标的选择是不正确的，且此点是会发生虚位移的点，用来作为坐标系原点显然是不可以的，这是对广义坐标的理解不够才出现的问题。广义坐标的选取不同，理解不同，所以才导致出现以上这些情况。虽然说选取广义坐标时是可以任意的，但其前提是所选择的变量必须是真正的广义坐标，这是一个很关键的问题，如果我们选择了一个不是广义坐标的变量来描述质点系的位置，则有可能得到错误的结果。若在例一中选择θ为广义坐标来求杆的平衡位置则有：

由于光滑接触，体系满足理想约束条件，根据虚功原理，杆的平衡条件为主动力mg所做虚功等于零，即： 其中 为杆的质心c点的虚位移。

由于杆的放置方向， 的位置是受限制的，杆的自由度就只有一个，我们选择θ为广义坐标，则c点坐标（xc，yc）与θ之间的变换方程为：

由此式微分可求出虚位移表达式，把代入平衡条件，因y方向的主动力为零，故 项无贡献，于是有平衡方程： ， 是独立变量，所以：

平衡时有： ，则：

但若选质心c的x坐标xc为广义坐标，则结果如下： ，显然 ，而当选择θ或y为广义坐标时，则可以得到正确的答案。 即：θ=0或π。

虽然以上的分析方法都是有道理的，但还没有切中问题的要害与实质，再次我谈谈自己的看法，我认为：在求解一个物体小环的平衡位置时，若以θ来表示质点系的位置，它是唯一可以表示小环m位置的坐标，所以θ可称为广义坐标，由此可得出正确的结论。 若选择x 来表示小环m的位置时，则一个x对应两个y，即同一个x，小环可能在左边也可能在右边，所以x不能唯一确定小环m的位置，因此x不能为广义坐标。在这里要指出的是若选y 作为广义坐标时也可以得到正确的结果，而这是在排除了 這两个点的情况下才得出结论的，又因为广义坐标是唯一能表示质点系位置的独立变量，如果排除了某些点，这样的变量是不能称为广义坐标的，这样的做法也是不正确的，这是对广义坐标的理解存在偏差。因此我个人认为选择广义坐标时有以下几点可以供参考：

1）在求解虚功原理的问题和平衡问题时，坐标的选取不只是可以选择广义坐标，只要你找对自己所选的变量是可以描述质点的整个运动状态或是质点的位置时，就可以根据问题选择你所需要的坐标。

2）虚功原理是一个静力学原理，在它的表述中已不出现约束力，约束条件只体现在确定的广义坐标上.所以在用虚功原理解题时，可以不考虑约束反力，若需要考虑的话，我们可以将约束解出，代之以相应的约束力，并视为主动力.仍然可以用虚功原理来解题。

3）在用虚功原理解题时当所选坐标数超过自由度时，只要加上相应的约束方程，超过多少个就加上多少个约束方程，仍然可以用虚功原理求解。

作者简介：

朱朝启，男，云南大姚人，大姚县实验中学，研究方向：物理教育教学研究，大学本科，一级教师。