初中数学解题中应用数形结合思维

龚梅

【摘要】在初中数学教材中，无论概念还是定理，处处蕴含着数形结合思维，自然，应用的数学习题也不能例外，在解题时，需要把数量关系同形的直观性结合起来，既能够以形解数、简化思维，也可以以数算形，回归数学本质。

【关键词】数形结合 初中数学 以形解数 以数算形

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）21-0184-02

新课程改革后，数学教材一改过去的代数与几何分离教学，将二者合二为一，互相穿插。这是因为，教材的编写者意识到数与形的不可分割，代数需要经过图形变得直观和简易，几何需要经过代数关系与运算实现证明与解答，二者密切结合的最高点便是向量及其运算，当然，这不在我们的讨论范围之内，我们只是讨论数与形结合思维已经被认可并推广于教材之中。遍览教材，诸多的概念和定理中处处都蕴含着数形结合思维，比如绝对值、函数、勾股定理、全等三角形的判定等等，相应而言，习题自然也会把数形结合思维蕴含地淋漓尽致。因此，在解题时运用数形结合思维，可以紧扣出题人的思路，是一条便捷之径。

一、以形解数，简化思维

在初中数学习题中，一些数量关系极具复杂之能事，学生一时半会儿很难对其进行准确认知，于是在做题时常常摸索不到思路或者是出现漏洞，此时，就需要借助图形进行解答，图形不经可以将题目中复杂的数量关系直观地综合地呈现在学生眼前，令学生实现对数量关系的把握，而且有时可以出现灵光一闪之效，令学生发现解题的线索，从而出奇制胜。下面通过两个例子，体会一下数形结合思维的精妙。

例1：如果a

分析：这道题看似不难，只是简单地对数与相反数进行大小比较，没有涉及绝对值，更缺少运算量。但这道题蕴含的逻辑思维可不少，以至于学生频繁出错，不是六个数之间颠来倒去一团乱，a、-a、b、-b、c、-c错杂不堪入目，当然，根源在逻辑运算不清，就是少了可能性，只解答出一个答案就万事大吉，导致失了分。如果借助数轴来解题，则可以避免那复杂的头脑风暴，轻而易举地理顺数之间的关系，而且也能够发现隐含的分类思维：b距远点的距离比c近，b距原点的距离在a和c之间，b距原点的距离比a远，由此得出六个数的三种大小关系。

解答：当b距原点的距离

当c距原点的距离

当a距原点的距离

例2：x、y的关系满足方程（x-2）2+y2=3，试着求y/x的最大值。

分析：很多学生在做这道题时，试着将y/x变成二次，然后开方求值，先不说计算，然后求出最值依然是个难题，就准确性而言，也是有偏差的。其实，可以用图形来帮助解题，求得准确答案。仔细分析一个方程式，便可以发现这个方程其实是一个圆的表达式，根据圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2，该圆的圆心为（2，0），半径为，因此，（x，y）便是圆上的一点，这是第一次利用图形来助解。接下来便是思考如何使得y/x最大了，这里可以第二次利用图形来解决困境，将y/x视作过（0，0）与（x，y）两点的直线的斜率。到这里为止，求（x，y）的最大值便转化为求过圆上的任意一点与原点的直线的斜率最大值。当圆与直线相切时，且切点在第一象限时，直线的斜率是最大的（如图4）。此时需要第三次利用图形来助解，OA的斜率是Rt△OAC的正切值，已知OC=2，AC=，可以求出OA=1，于是y/x的最大值便呼之欲出。此题的难点便是三次借助图形，以形来解数。

解答：当OA与⊙C相切时，y/x有最大值

OC=2，AC=，OA==1

（y/x）max=tan∠AOC=/1=

二、以数算形，回归本质

数学之所以称之为数学，本质是数，是运算，所以，无论代数还是集合，都无可避免地牵涉到数的运算。而且，形固然直观，可以具体化一些抽象思维，却无法精确定量，并且蕴含在一些简单图形中的复杂数量关系，是不能只靠观测就得出结果的，必须依靠数，这就需要根据题意与图形，正确地罗列出数的关系，然后通过思维与计算，解决数学问题。以下运用一个例子，分析数于形上的弥补，思维于直觉中的功能。

例3：如果圖5中所有的三角形均是直角三角形，AE=1，∠A=，试求AB的值。

分析：在图中，除了所有的三角形均为直角三角形外，没有任何数量关系的显示，但是此题求的就是数量关系，所以，只能根据题意进行思维和运算。想要求AB的值，在已知∠A的条件下，必须知道BC或AC的值，如果是BC的值，BC除了在Rt△ABC中外，就是在Rt△BCD中，而Rt△BCD中的各个角与∠A的关联性不大，也无法求出与Rt△ADE或Rt△ACD或Rt△ABC存在全等或相似的关系，那么，只能是求AC的值。到此为此，在Rt△ACD，AC似乎与∠A与AE都牵上了关系，但是出现了一个问题，AE与AC没有比例的关系存在，便只能继续寻觅，以期求得AD或CD的值，CD虽然处在较多的直角三角形中，但是与∠A与AE的关联不大，那么只有求AD的值。根据题意，在Rt△ADE中，。顺势，我们便可以求得，。在解答过程中，运用了逆向推导的思维，这是初中数学习题中常常用到的一种思维方式。此外，此图画的较为简单，有些似是而非的关系蕴含其中，比如AE=CE，△ADE=△CDE等，但这不是已知条件，学生们切忌就此而得结论。

解答：在Rt△ADE中，；在Rt△ACD中，；在Rt△ABC中，

数与形既是初中数学研究的两个主要对象，即我们通常所言的代数与几何，也是互相渗透的彼此解题途径，数需要形来简易化，形需要数来运算，二者不可分割。我国著名数学家华罗庚曾经提到：数与形是统一的整体，数离了形变少了直观性，形缺少数便无法解答。一切的数学问题与数学发现，皆需要在数与形的有效结合下进行。因此，在教学数学时，教师需要把数与形结合起来，无论是概念与定理，还是解题，只有形成了习惯性，才能把数形结合的思维方式植根在学生的头脑中。

参考文献：

[1]李莉. 初中数学数形结合思想的探究[J]. 教育教学论坛，2014，25.

[2]徐国央. 数形结合思想在数学解题中的应用[J]. 宁波教育学院学报，2009，1.