泰勒公式在极限计算上的应用

袁利军 曾静

【摘要】极限计算是高等数学教学的一个非常重要的内容和难点，也是考研数学的考试重点。本文介绍將泰勒公式应用于计算各种复杂极限的基本思想和方法。

【关键词】极限计算 高等数学 泰勒公式

【中图分类号】G642.1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）21-0246-02

极限是高等数学中的一个核心概念。高等数学中几乎所有重要的概念都是通过极限来定义的，例如：连续、导数、定积分、级数收敛性等等。高等数学的极限教学包含三层意思：极限的概念、极限的计算，以及极限的应用。极限计算的技巧性很强，一直是教学的重点和难点。极限计算的方法较多，学生不能熟练掌握。特别是复杂极限的计算，大多数同学没有思路，无从着手。极限计算而是考研数学的一个重要内容，而且考研数学中的极限计算题难度很高，需要在短时间内快速求解有一定困难。本文介绍用泰勒公式计算极限的基本思想和方法。泰勒公式一般可用于计算复杂极限，计算过程简单，不容易犯错。

一、极限的计算方法

高等数学中的常用极限计算方法可以终结归纳为：（1）定义法；（2）连续函数的定义；（3）归结原理；（4）夹逼准则；（5）单调有界定理；（6）洛必达法则。6中方法中定义法用的最少，根据连续函数的定义只能计算简单的极限。归结原理一般用来证明极限不存在。夹逼准则和单调有界定理被广泛应用于计算极限，特别是基于他们推导出来的两个重要的极限对计算复杂极限十分重要。洛必达法则可以说是这6中极限计算方法中功能最强大、应用最广泛的。计算复杂极限时一般首先考虑此方法。用罗必塔法则时，一般要先考虑等价无穷小替换，以简化极限的表达式。罗必塔法则需要对表达式的分子和分母同时求导数。对于有些极限，求导后表达式会变得越来越复杂，使得极限的计算变得复杂，容易犯错。此外，很多同学经常把罗必塔法则用错。

泰勒公式可用于复杂极限的计算，一般罗必塔法则能够计算的极限，泰勒公式也能计算。只要知道极限各个部分的泰勒公式，就可以很容易地计算出极限值。

通过上述例子，可以看出泰勒公式在计算极限上有很大的优势。只需要找到分子和分母的泰勒公式，极限的计算就变得非常简单。所以计算极限各个组成部分的泰勒公式是应用此方法的重点。要熟练运用泰勒公式法需要熟记常见函数的泰勒公式，并且知道无穷小的运算法则。

四、结语

极限的计算非常重要，也非常复杂，是考研数学和高等数学的考试和教学重点、难点内容。本文通过一些实例演示泰勒公式可用来快速简便地计算复杂极限。只要熟记一些常用函数的泰勒公式和无穷小的运算法则，就可以快速使用泰勒公式计算极限。

参考文献：

[1] 丁宣浩等编.数学分析（下册）[M]. 北京： 高等教育出版社，2015.

[2] 李正元 等编.考研数学·数学历年试题解析·数学三[M]. 北京：中国政法大学出版社，2015.

[3] 窦慧.泰勒公式在极限和等式不等式中的地位与作用[J]. 教育教学论坛，2014， 23：113-114.

[4] 孙法国.利用泰勒公式求极限[J]. 数学学习.1995， 3：29-31.

[5] 齐成辉.泰勒公式的应用[J].陕西师范大学学报（自然科学版），2003， S1：23-25+146.