四大原则在手 函数解题无忧

江苏 朱建新

(作者单位：江苏省前黄高级中学国际分校)

四大原则在手 函数解题无忧

函数是高中数学的重要内容，它引入了变量，让学生在动态中探寻数学的秘密.然而，学生在学习、复习过程中往往会产生比较大的困难，比如思维上有漏洞，解题时胡乱套用方法、模式等，本文结合笔者多年来的教学感悟，总结了复习好函数的一些原则，按照这些原则，函数的解题会变得清晰有趣，可以轻松以不变应万变.

一、定义域优先原则

【例1】已知函数f(x)=log3x+2,x∈[1,9]，求函数g(x)=f2(x)+f(x2)的值域.

【评注】本题如果不考虑g(x)的定义域，则缺少函数的三要素之一，从而导致值域错误.

【例2】已知奇函数f(x)是定义在(-3，3)上的减函数，求不等式f(x-3)+f(x2-3)<0的解集.

【评注】这个不等式问题本质还是函数问题，确定一个函数必须优先求出定义域，这样才能保证求解的范围不被放大.

二、单调性为核心原则

【解析】易知f(x)在[0,+∞)上单调递增，在(-∞,0)上也单调递增，且x=0时，4x-x2=f(0)，所以可得f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，故f(2-a2)>f(a)可得2-a2>a，解得-2

【评注】本题由于成功研究了f(x)的单调性，从而抓住了f(x)的本质，避免了因为分段带来的复杂讨论.

【评注】本题f(x)导数的条件使我们研究出了g(x)的单调性，从而不等式转化为g(x)的不等式，利用g(x)的单调性求解.

又a<0，所以-3≤a<0.

【评注】本题由条件中的不等式获得了新函数g(x)的单调性，然后用导数解决问题，如果不思考单调性，则题目条件无从下手.

三、图象为归宿原则

【例6】已知函数f(x)=x|x-a|+2x，若a>0，关于x的方程f(x)=9有三个不相等的实数解，求实数a的取值范围.

【评注】本题变形产生了三个简单的函数的图象，通过观察图象与图象的交点个数，列出简单的式子，求出了实数a的取值范围，避免了复杂的分类讨论.

【解析】易知f(x)在[0,+∞)上单调递增，在(-∞,0)上单调递增，可画出f(x)的图象，

由图象知，f(x) 的图象位于函数y=5的图象下方的部分对应的自变量的范围为(-∞,1)，

所以不等式f(2x2-|x|)≤5可转化为2x2-|x|≤1，解得0≤|x|≤1,即[-1,1].

【评注】本题从函数图象角度思考不等式f(x)≤5，从而不等式f(2x2-|x|)≤5可转化为2x2-|x|≤1，避免了纯代数思考的复杂运算.

四、对称性与周期性辅助原则

【评注】本题如果忽略了f(x)的对称性思考，则不等式无法转化，从而无法突破运算的障碍.

又因为f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-f(x)，所以可知f(x)为奇函数.

由x3+sinx-2a=0,4y3+sinycosy+a=0，可得f(x)=x3+sinx=2a,f(2y)=(2y)3+sin2y=-2a，所以f(x)+f(2y)=0.

【评注】本题只考虑单调性运算有障碍，不能成功解决问题，借助奇函数性质的帮忙才能运用单调性解决问题.

【例10】已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)=log2(x+1)，求f(-2 011)+f(2 012)的值.

【解析】当x≥0时，由f(x+2)=f(x)知f(x)周期为2，所以f(2 012)=f(0)=0，

又f(x)为奇函数，所以f(-2 011)=-f(2 011)，再由周期性得f(2 011)=f(1)=1,

所以f(-2 011)+f(2 012)=-1+0=0.

【评注】本题考查了函数的对称性和周期性，两个性质熟练运用，轻松获得答案.

(作者单位：江苏省前黄高级中学国际分校)