一元一次不等式中的常见错误

熟练地求解一元一次不等式，不仅是初中生数学计算能力的重要体现，而且对后续的用一元一次不等式解决问题、解一元一次不等式组都有着深远影响.下面我们一起来看看一元一次不等式中的常见错误.

一、一元一次不等式的概念

例1 下列不等式是一元一次不等式的是（ ）.

A.x2-9x≥7x-6 B.x+[1x]>0

C.x+y<0 D.[13]（x+2）>4x-1

【错解】B.

【分析】A选项中未知数x的最高次数为2，

B选项中[1x]的分母含有未知数，C选项中含有x、y两个未知数，因而它们都不是一元一次不等式，只有D符合一元一次不等式的三个特征：①只含一个未知数；②未知数的最高次数是1；③不等式的两边都是整式（单项式或多项式）.

【正解】D.

二、移项法则

例2 解一元一次不等式：2x+6≥3x-27.

【错解】2x+3x≤6-27.

【正解】2x-3x≥-6-27.

【分析】常见的错误是只移项而不变号.所谓的移项，其实是在不等式的两边同时加上某一项的“相反项”.比如：让不等式右边的项“3x”消失，是在不等式的两边同时加上了“-3x”，从而右边消去3x，而左边出现了“-3x”的项.根据不等式的性质1，可以知道，这种变化不等号的方向不变，因此有了移项变号，不等号方向不变的结论.

答案为x≤33.

三、去分母法则

例3 解一元一次不等式：[1-x4]>1-[1-2x2].

【错解】1-x>1-2-4x.

【正解】1-x>4-2（1-2x）.

【分析】去分母是根据不等式的性质2，不等式两边的每一项都要同乘或同除某个数，因此，对于不含有分母的项“1”也要乘4.另外，题中的“1-x”“1-2x”是整体作为分子，在去分母的时候也要看做一个整体，换句话说，去分母的时候要加括号.

答案为x<-[15].

四、系數化为1

例4 解一元一次不等式：14-2x>6.

【错解】x>4.

【正解】x<4.

【分析】移项、合并同类项之后，得-2x>-8.系数化为1，是根据不等式性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.因为-2<0，所以在不等式两边同时除以-2的时候，不等号的方向要改变.

五、一元一次不等式解的表示

例5 解不等式：[2x-13]-[5x+12]≤1，并将解集在数轴上表示出来.

【错解】x≥-1，解集在数轴上表示为.

【正解】x≥-1，解集在数轴上表示为.

【分析】不等式解集在数轴上的表示，要注意：①确定临界点，在表示“≤”或“≥”时，用实心圆点（如正解图中‘-1点处），在表示“<”或“>”时，用空心圆点（如错解图中‘-1点处）；②确定方向，在表示“<”或“≤”时，向左（数轴负方向）画（如错解图中方向），在表示“>”或“≥”时，向右（数轴正方向）画（如正解图中方向）.

六、含有字母的一元一次不等式

例6 如果关于x的一元一次不等式（a+1）x>a+1的解集为x>1，那么a的取值范围是 .

【错解】任何数.

【正解】a>-1.

【分析】观察（a+1）x>a+1和x>1可知：不等号的方向没有改变.根据不等式的性质2可知：对不等式的系数a+1是有要求的，条件为a+1>0，进而得到a>-1.

例7 已知a，b为常数，若一元一次不等式ax+b>0的解集是x<[13]，则bx-a<0的解集是 .

【错解】x>-3.

【正解】x<-3.

【分析】观察ax+b>0和x<[13]，可知：a<0，不等式解集为x<[-ba].进而有[-ba]=[13]，且b>0.所以bx-a<0的解集为x<[ab].又因为[-ba]=[13]，可知[ab]=-3，终得x<-3.理清a，b的符号及数量关系是解题关键.

七、一元一次不等式的整数解

例8 写出一元一次不等式[5x-13]-x<1的所有正整数解 .

【错解】x=1，2.

【正解】x=1.

【分析】解[5x-13]-x<1得x<2.而x是取不到2的，因而其正整数解只有x=1.

例9 若一元一次不等式3x-m≤0的正整数解为1、2、3，则m的取值范围是 .

【错解】9

【正解】9≤m<12.

【分析】先求出含有m的一元一次不等式解集：x≤[m3].再根据其正整数解为1、2、3，可知3≤[m3]<4.其中[m3]可以取到3，因为当[m3]=3时，不等式解集为x≤3，满足题意；而[m3]不可以取到4，因为当[m3]=4时，不等式解集为x≤4，其正整数解为1、2、3、4，不满足题意.进而得到9≤m<12.确定[m3]的范围，临界值能否取到是解题关键.

在学习的过程中，出现种种错误并不可怕，只要认真分析，仔细辨别，及时纠正，那么在以后的学习中定能取得进步.

（作者单位：南京师范大学附属中学江宁分校）