三角形一个性质在四面体中的推广*

曾建国

(赣南师范大学数学与计算机科学学院 341000)

1 引言

众所周知，三角形的葛尔刚(Gergonne)点是指图1中三线之交点，即有

图1

命题1[1]连结三角形的顶点和内切圆与对边切点的直线，三线交于一点.

笔者在文[2]中将三角形的葛尔刚点的性质推广至四面体中，即有

定理1[2]若四面体有棱切球，则过每一条侧棱及棱切球与其对棱切点的平面，6个平面交于一点.

三角形还有另一个性质(参见图2、图3)

图2

图3

命题2[3]一圆交△ABC的各边或其延长线于两点，设直线BC、CA、AB上的交点分别是D与D′，E与E′，F与F′，若AD、BE、CF三线共点，则AD′、BE′、CF′三线共点或平行.

笔者注意到，命题1与命题2有密切的联系：命题2中当圆与△ABC各边上两个交点重合为一点(即图2、3中的圆变成△ABC的内切圆)时，结论就变成命题1.因此，命题1是命题2的特例，命题2可以看作命题1的一种推广.

既然命题1可以推广至四面体中(定理1)，那么命题2是否也可以推广至四面体中？本文试图研究此问题.

2 命题2的推广

将命题2推广至四面体中，有

定理2在四面体A1A2A3A4中，设侧棱AiAj(或其延长线)与一球面交于两点Bij，Bij′(1≤i

依题设知，平面A1A2B34、A1A3B24、A1A4B23有两个公共点A1和M，所以此三平面交于直线A1M.依题设又知A1M与侧面A2A3A4必交于一点M1，则直线A2B34、A3B24、A4B23交于一点M1.

(1)当A2B34′、A3B24′、A4B23′交于一点N1时，因N1∈侧面A2A3A4，则直线A1N1与侧面A2A3A4相交于N1(见图4)；

图4

图5

综合(1)(2)知：

同理可证：

当A1N1与A2N2均与所对侧面相交时(参见图4)，A1N1与A2N2不平行是显然的；

综上可知，A1N1与A2N2共面但不平行，故可设A1N1与A2N2相交于点M′.

在定理2中，当球面与四面体每条棱上的两交点重合，即当四面体有棱切球时，就得到定理1的结论.因此，定理2可看作定理1的一种推广.

3 结语

细心的读者可能会发现，定理2对点M的位置进行了限制，这是为了确保直线AmM(m=1,2,3,4)与顶点Am所对侧面均相交，从而便于在证明过程中能应用命题2的结论.至于M在其他特殊位置时情况较为复杂，有待进一步研究.