PEP与MAC教材中数学探究的比较——基于初中“图形与几何”内容

叶 珂 胡典顺

(1．成都高新新科学校 611731；2．华中师范大学教师教育学院 430079)

1 问题提出

现代数学观认为数学知识不是纯粹传递与接受结论性产品，而是个人参与构建、探究的生产性过程，这种动态数学观就是数学探究的本体论基础[1]．我国最新颁布的《义务教育数学课程标准(2011年版)》强调动手实践、自主探索与合作交流的数学学习方式[2]．全美数学教师理事会发布的《美国学校数学教育的原则和标准》提出要创设富有挑战的学习环境，鼓励学生合作与探索[3]．关于探究能力的重要性，温伯格曾说过：最好的学生与次好的学生的区别不在于知识的多少，而在于对未知领域的探究能力．这些启发我们赋予数学教育新的涵义：数学教育的根本在于培养学习者创造自己数学知识的能力．

有研究发现数学探究在被人们认同和接受的过程中存在着不容忽视的危机[4]．教材作为进行数学探究的关键资源，不仅是实现课程目标的主要载体，也是影响学生数学探究能力形成的重要因素．中美教材在数学探究内容的呈现方式及处理方式上有何异同？对我国今后数学教材编写有什么启示？通过本研究将获得对上述问题更深刻的认识．

2 研究设计

2.1 研究对象

研究选择了Glencoe/McGraw-Hill出版社Mathematics:Applications and Concepts教科书Course1至Course3全套教材(简称MAC教材)和人民教育出版社义务教育教科书·数学七年级至九年级全套教材(简称PEP教材)作为比较教材．将两套教材中“图形与几何”领域的显性数学探究栏目内容确定为研究对象．经统计，PEP教材共有八种显性数学探究栏目：“思考”、“探究”、“信息技术应用”、“阅读与思考”、“实验与探究”、“观察与猜想”、“数学活动”、“课题学习”．MAC教材共有六种显性数学探究栏目：“When am I ever going to use this?”、“Mini Lab”、“LAB: Activity”、“LAB: INVESTIGATE ”、“LAB: Writing Math”、“Spreadsheet Investigation”．

2.2 指标体系

通过概念梳理，本文给出数学探究如下定义：根据学习材料中的数学问题或任务，采用探究的方法经历知识的形成过程，在发现数学规律或结论的同时培养实践能力和创新精神的一种教育活动形式．根据以上定义并借鉴徐斌艳教授提出的高中数学教材探究内容分析框架，本研究从数学探究的数量与篇幅、主题、位置与功能、问题表达、活动与组织形式进行了指标分类和含义描述．

2.2.1 探究内容的数量与篇幅

为避免不同研究者由于主观判断导致选择探究内容的不一致，本文研究对象只包含教材中的显性探究栏目的内容，并结合数学探究内容的来源章节进行数量统计．

忽视数学探究的复杂程度仅根据个数来反映两版教材在量上的差别难免有失偏颇．因此，本研究基于两版教材的纸张规格将数学探究内容的篇幅进行了分类，见表1．

表1 数学探究内容篇幅的分类及含义

2.2.2 探究内容的主题

参阅《义务教育数学课程标准(2011年版)》中关于“图形与几何”领域的分类，结合两版教材的实际情况，本研究对数学探究内容的主题进行了划分，见表2．

表2 数学探究内容主题的分类及含义

2.2.3 探究内容的位置与功能

探究内容在教材中的具体位置与上下文有着紧密关系，不同的位置也间接影响了其功能的发挥．本研究对数学探究内容的位置及功能分类见表3．

表3 数学探究内容位置与功能的分类及含义

续表

2.2.4 探究内容的问题表达

问题解决是义务教育阶段数学课程的四大目标之一，数学探究更是围绕着问题的发现、提出、分析和解决过程．本研究将数学探究内容的问题表述分为问题类型、情境、图表三个要素，见表4．

表4 数学探究内容问题表述的分类及含义

2.2.5 探究内容的活动与组织形式

数学探究是独立或与他人合作参与多种数学活动，寻找解决问题的方法，最终获得一定理性认识的过程．本研究关于数学探究内容的活动与组织形式分类见表5．

表5 数学探究内容活动与组织形式的分类及含义

对各数学探究内容按其所属版本、年级(册)、章节、栏目进行编码．依据上述指标体系对各数学探究内容所属指标类型进行一一归类，通过计数和统计图表对比两版教材中数学探究在数量、篇幅、主题、位置、功能、问题表达、活动形式和组织形式方面的差异，进而回归教材深入分析原因，最终获得对教材中数学探究较全面的认识．

3 初步比较的结果

3.1 探究内容的数量与篇幅

PEP教材中数学探究内容共186个，在各年级均有分布，但并没有呈现出明显的规律，且任意年级的教材都未能涵盖全部数学探究栏目．MAC教材中数学探究内容共165个，在各年级分布比较均匀，且各年级教材都涵盖了所有类型的数学探究栏目，说明了数学探究可以适应初中数学不同阶段的知识．PEP教材中数学探究内容共分布在13章39节，MAC教材共分布在19章76节，PEP教材平均单节中数学探究的数量为4.8个，比MAC教材多约2.6个．这从侧面反映了PEP教材加大了对数学探究内容的编写力度，也与我国初中数学课程改革起步早，教材更新快有直接关系．

图1 PEP与MAC教材中数学探究内容的篇幅比较

PEP与MAC教材中数学探究内容的篇幅分布差异达到显著水平(2(3，N=351)=67.002，p<0.001)．值得关注的是，PEP教材中52.15%的数学探究属于精小型，MAC教材52.12%的数学探究则分布在0.25～0.5范围的篇幅上(见图1)．此外，大于1页的篇幅类别上PEP教材比MAC教材多7个，主要分布在“信息技术应用”和“课题学习”等栏目，基本都是两整页，涉及到较复杂的背景知识或比较完整的探究过程．MAC教材大于1页的篇幅主要分布在“实验室：活动”和“实验室：调查”栏目，主要是将探究按照分步活动的形式展开并在教材中详细呈现了每个步骤的要求．

3.2 探究内容的主题

PEP与MAC教材中数学探究内容的主题分布差异达到显著水平(2(3，N=351)=75.873，p<0.001)．MAC教材数学探究中测量主题占41.21%，PEP教材仅为3.23%，两版教材在图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个主题的数量比都趋于6∶3∶1(见图2)．参看课标中“图形与几何”的内容标准发现各主题的知识内容数量与数学探究数量呈现正相关，也就是说数学探究在各主题的知识上分布均匀．

图2 PEP与MAC教材中数学探究内容的主题比较

测量主题的差异主要是由于MAC教材中测量主题的数学探究涵盖的大部分知识在我国小学数学教材中已经出现过，由此可以推测在测量主题上MAC教材的数学探究难度比PEP教材要小很多．总体来说PEP教材中数学探究更侧重 “为什么”、“怎么样”，MAC教材更侧重 “是什么”、“怎么做”．

3.3 探究内容的位置与功能

图3 PEP与MAC教材中数学探究内容的位置比较

PEP与MAC教材中数学探究内容的位置分布差异达到显著水平(2(5，N=359)=200.05，p<0.001)，主要是受教材体例结构及栏目定位的影响．PEP教材中数学探究内容分布于五种位置，节首(17.74%)、节中(53.76%)和节末(5.38%)分布的栏目是“思考”和“探究”； 节后(12.37%)分布的栏目是“阅读与思考”、“实验与探究”、“观察与猜想”和“信息技术应用”；章末(15.05%)分布的栏目是“数学活动”；“课题学习”呈现的是一节系统完整的数学探究过程(见图3)．MAC教材中数学探究内容的位置分布较单一，节首(46.06%)分布的栏目是“何时应用”和“迷你实验室”；节前(18.79%)和节后(35.15%)分布的栏目是“实验室：活动”、“实验室：调查”和“实验室：写数学”；“电子表格调查”分布在节后．

PEP与MAC教材中数学探究内容的功能分布差异达到显著水平(2(4，N=351)=146.821，p<0.001)．PEP教材比较注重发挥探究内容联系上下文的过渡作用(41.40%)，其他四种功能分布相对差距不大，教材的组织编排与知识学习的一般过程相一致(见图4)．MAC教材中数学探究内容在功能分布上非常不均衡，对探究内容作为新知识的引入作用十分重视，占74.55%的数学探究旨在促进这一功能的实现．通过选取选《角》一节中引入新知型数学探究详细比较发现，MAC教材多开门见山地呈现探究再归纳出概念，PEP教材多遵循演绎的方法先给出概念或用较多文字铺垫再呈现数学探究，这也是造成部分数学教学重结论，甚至出现读背数学教材现象不可忽视的因素．

图4 PEP与MAC教材中数学探究内容的功能比较

借助SPSS19.0软件对两版教材中数学探究内容的各项指标进行两两相关性检测，结果显示两版教材中数学探究内容位置与功能之间的相关系数分别是0.839，0.669；双侧t检验的显著性概率均为0.000<0.01，拒绝零假设，表明两个变量之间显著相关，且PEP教材的相关性强于MAC教材．其他几个指标间的相关性均不显著．

3.4 探究内容的问题表达

PEP与MAC教材中数学探究内容的问题类型差异达到显著水平(2(3，N=351)=24.5，p<0.001)．两版教材中数学探究内容均以封闭性问题为主，分别占总数的64.52%和72.12%(见图5)．在半开放式问题中，PEP教材侧重过程开放型，MAC教材侧重结论开放型．

图5 PEP与MAC教材中数学探究内容的问题类型比较

PEP与MAC教材中数学探究内容的情境类型具有显著性差异(2(3，N=351)=17.606，p<0.001)．共性是两版教材都是纯数学情境即纯粹的数学问题表述居多，差异是MAC教材数学探究中个人生活情境占41.82%，远高于PEP教材(见图6)．两版教材都设计了一些将具体知识放在实际情境中的数学探究，如探究内容P2b.18G2分析了世界著名建筑中的黄金矩形设计引发学生探究黄金矩形的折叠方法；探究内容M1.13.1A用饼状图呈现了Mai-Lin在花园里种植的不同蔬菜的数量让学生在此背景下探究角度大小．

图6 PEP与MAC教材中数学探究内容的情境比较

PEP与MAC教材中数学探究内容的图表类型具有显著性差异(2(2，N=351)=105.061，p<0.001)．两版教材中非纯数学图表的数量相差不大，但PEP教材中无图表的数学探究几乎是MAC教材的2倍(见图7)．

设置不同的图表用意也不尽相同，探究内容P2b.17.1B1让学生利用单元格直观操作后猜想直角三角形的三边长的平方关系．探究内容M2.11.6B用两幅图片展示了在探索圆的面积公式时的关键步骤，作为思维的固着点帮助学生理解和记忆公式的推导．

图7 PEP与MAC教材中数学探究内容的图表比较

3.5 探究内容的活动形式

PEP与MAC教材中数学探究内容的活动形式具有显著性差异(2(3，N=351)=17.200，p<0.001)．两版教材都是以解答活动为主，接下来依次是实验活动、作品活动、阅读活动．MAC教材的实验类数学探究是PEP教材的2倍多，而PEP教材的阅读类数学探究是MAC教材的3倍多(见图8)．PEP教材的阅读材料主要选自数学发展史中的一些重要数学家和数学事件或是推动人类进步的重大数学应用等，如阅读与思考栏目就介绍了几何学的起源、费马大定理、视图的产生与应用等．MAC教材中阅读内容的选材相对狭窄些，都是呈现一个漫画故事让学生思考其中的数学问题．由此看来，PEP教材更重视挖掘教材传播数学文化、普及数学应用的价值，MAC教材更注重阅读的趣味性．两版教材都编写了如做包装盒、设计图案等活动．让学生通过完成简单的作品实现学以致用．

图8 PEP与MAC教材中数学探究内容的活动形式比较

对解答活动详细比较发现，PEP教材比较注重推理证明和总结交流，MAC教材没有单独这两类解答要求的数学探究，产生这一差异的原因有二：我国传统的几何教学有重视演绎推理和方法总结的优势；美国的课程标准没有建立起类似平面几何的证明体系，证明都是非常零散地出现在各种题目中[5]．另外，MAC教材中有明确要求进行数学写作的解答，与此形成鲜明反差的是PEP教材中没有单独要求数学写作的数学探究，这与我国初中数学教学中常常进行口答的现象如出一辙．

对实验活动详细比较发现，两版教材都很重视信息技术的引入．PEP教材专门设置了“信息技术应用”栏目介绍如何利用几何画板的绘图、度量、图形变换等功能探究图形的性质及关系，MAC教材专门设置了“电子表格调查”栏目介绍如何利用电子表格的输入、输出、计算等功能探究与几何相关的数量规律．

3.6 探究内容的组织形式

PEP与MAC教材中数学探究内容的组织形式具有显著性差异(2(2，N=351)=80.817，p<0.001)．PEP教材中高达88.17%的数学探究是以个人形式进行或者更确切地说没有指明具体组织形式(见图9)．一方面反映了教材对学生独立思考、自主探究的能力要求较高，另一方面距课程标准提倡的合作交流尚有差距．相比之下，MAC教材中数学探究内容的组织形式相对均衡，其中以同伴或团队形式进行的数学探究内容占56.36%， PEP教材仅为11.83%．

图9 PEP与MAC教材中数学探究内容的组织形式比较

除此，MAC教材对数学探究活动的组织人数有明确的表述，如“Work with a partner”“Work in groups of 2 or 3”“Work in groups of three”“Work in groups of 4 or 5”“Work as a class”，PEP教材的表述则比较笼统，有“同学”和“同学们”两种．

4 启示与建议

4.1 为自主探究提供显性支持

初中生经过小学阶段的积累具备了一定的学习能力但自我监控的策略性和持久性仍不足以达到完全独立的水平，需要采用多种方法保证其思维始终处在学习的中心．学法指导的内容在我国教材中多内隐于知识内容，更多依赖教师的辅导和学生的学习习惯，可在教材中设计适当的指导型小板块为学生进行自我探究和评价提供引导和标准．另外，将一些比较复杂的探究以分步活动的形式展开也能够为学生自主探究提供更多支持，但要避免步骤过细过全而限制了学生主观能动性的发挥．PEP教材中的数学探究多呈现在概念后或有较多文字铺垫，建议教材适当减少纯描述性文字，提升教材的数学体验感，突出数学的概括性和条理性，促进“看”教材向“用”教材的转变．

4.2 赋予问题更开放、丰富的表达

数学探究与单一解题的本质区别在于它能提供更丰富的问题背景、更现实的约束条件、更多的探索形式、更自主的策略选择以及更多交流反思的机会．教材编写应合理搭配，兼顾数量与质量，设计不同层次的开放性问题满足学生的不同需求．以纯文字赤裸裸呈现的数学探究对初中生的学习如同嚼蜡，情境的设置意在加深认知而非增加理解障碍，教材应及时捕捉与学生息息相关的素材改造为探究的问题情境．图表既可以展现关键步骤、直观空间几何体、进行数形结合又可以强化对结论的理解记忆，各式各样的图表使得教材图文并茂，更加丰满鲜活．生动有趣的非数学图表，精炼简洁的数学图表应互为补充，与教材其他内容合理搭配构成密不可分的整体．

4.3 探究的活动形式要百花齐放

受我国传统几何教学重视演绎推理的影响，PEP教材中判断解释、猜想验证、推理证明、总结交流等解答活动远多于MAC教材，而数学写作和实验类活动远少于MAC教材．新课程改革倡导把合情推理与演绎推理相结合，加强几何直观，教材编写应进一步克服惯性，拓宽范围，多借鉴如主题演讲、数学游戏、专题调查等活动形式，平衡数学探究中实验操作与思维活动的比例．口答与写作相比更易使学生产生思维惰性、对较复杂的数学探究易浅尝辄止、不能对每个学生进行针对性评价，教材应针不同类型的数学探究提出不同的书写要求，切忌变成默写公式定理和罗列步骤．信息技术能够为数学探究提供直观教学手段和实验研究的环境，教材编写可借鉴国内外成功经验，将诸如电子表格、图形计算器等适时引入到数学教材中，为教学所用．

4.4 适当增加合作类数学探究

合作类探究能满足不同学生在数学探究中广泛多样的需求，强调学习者的相互依赖和知识构建中的共性．PEP教材中绝大多数的数学探究以

个人形式进行，这么高的比例距课程标准提倡的合作交流尚有差距．个人形式的学习侧重培养学生的自主性，特别是对探究过程的计划、监控、调节和评价．同伴或团队形式的学习侧重培养学生的合作精神，尤其是团队中的角色分工、数学交流、人际互动和知识共建等．现代建构主义认为，学习应该是社会交互、情境性与自我体验相互统一的过程．在设计数学探究时应辩证认识自主与合作的不同功能，优势互补，提倡个人独立思考基础上的合作，并对合作的人数、开展形式、具体任务提出要求，防止学生的合作流于形式，最终实现教材价值的均衡互补．