“问题导思”促进学生知识的内化——高三数学《等差、比数列》知识点复习的实践与思考

吴 彤

(江苏省盐城市教育局教科院 224000)

高三数学复习，特别是一轮复习，需要全面系统复习各章各节的知识点，不仅要让学生知其然，更要让学生知其所以然，从而让学生构建知识框架，加强知识间的关联性理解，达到知识的内化.所有教师都重视知识点复习，然而复习效果却不尽相同，我们常听一些老师对学生说，复习知识点你又不听讲，做到题目又不会.其实，这些知识点学生不是都不会用，基本问题，学生能够套用公式、定理等完成；较难一点的问题，他们有时确实不会，但原因较多，有思维方法的原因，也有知识点理解不深的原因.所以，这些知识点，学生是懂而不透，常规平铺直叙的评讲，学生厌烦，他们认为会了，不想听；有老师为了减少学生的厌烦感，他们在题目的评讲中，逐步梳理出知识点，但知识零碎，缺乏知识间的关联性理解；还有个别老师要求学生默写，学生是敢怒不敢言，这种复习方法最不可取.

怎样进行知识点复习，才能让学生愿意听讲，切实提高复习效率呢？这是我们每位数学教师都应思考的问题.本文将结合《等差、比数列》的知识点复习，与读者交流复习方法，以期抛砖引玉.

1 复习方法探讨

等差数列与等比数列的概念、相关性质、求和公式对应关系非常强，可一并复习，通过类比分析，学生印象可能会更深刻.对等差数列的相关知识点的复习，本文将通过问题引导学生思考，或思考其成因，或思考其应用注意点，或思考其关联性等等，在保证问题有内涵的基础上，力争做到问题的新颖，以扣住学生思考.以下具体的课堂实践，供读者教学中参考、研讨.

2 课堂问题设计

问题1如何证明一个数列是等差数列？

问题1不仅帮助学生复习了等差数列的定义，同时还帮助学生归纳了一类问题的证明方法，有一箭双雕的作用.学生通过思考，可归纳出证明方法：(1)定义法，即证明an-an-1=d(常数)；(2)中项法，即证明2an=an-1+an+1.当然，对等差数列定义的注意点以及中项法的内涵，还要再探讨，于是追问：

问题1-1你认为等差数列的定义有哪些注意点？

让学生思考定义的注意点，比让学生回忆定义，效果也许更好.此问题，要求学生分析出两个注意点：(1)从第二项起，即an-an-1=d(n≥2)；(2)差d为常数，即公差.

问题1-2为什么用中项法，证明到2an=an-1+an+1，就说明是等差数列呢？

中项法证明等差数列是学生都熟悉的方法，但这个递推关系式，他们未必都知其所以然.数列的很多性质，往往就体现在递推关系式上，然而很多学生对“由变量n的任意性而产生的传递性”，理解不深.上述递推关系，等价于对∀n≥2，n∈N*，都有an+1-an=an-an-1成立，即an+1-an=an-an-1=…=a2-a1，满足等差数列的定义.

问题2怎样证明等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d？

等差数列通项公式的记忆显然不是问题，它的证明方法(叠加法)却很重要，需要学生通过分析，加深理解其内涵.由等差数列的定义，有an-an-1=d(常数)，通过叠加法，得(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=(n-1)d，对这个式子，学生容易忽视n≥2，需要教师提醒证明的严密性，整理得an=a1+(n-1)d(n≥2)，又当n=1时，an=a1成立，所以等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d成立.

问题2-1除了等差数列，你能不能举一个用叠加法求通项公式的例子呢？

问题2-2在等差数列中，公式an=am+(n-m)d与通项公式有什么关系？

该问题主要目的是让学生深化理解等差数列的通项公式，当m=1时即通项公式，它与通项公式是一般与特殊的关系.然后，要求学生完成课本题：在等差数列{an}中，若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+q.(见文[1])学生既可以运用通项公式，求出基本量a1与d；还可以用通项公式的一般情形求解：不妨设q>p，则aq=ap+(q-p)d，将条件代入，得d=-1，所以ap+q=ap+qd=q+q(-1)=0.

问题3在等差数列中，a2+a8=a10是否成立？为什么？

问题3的目的，是复习等差数列的性质“下标和相等，和相等.即若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.”的运用注意点.学生通常会答不成立，在教师的追问下，他们会指出上述性质，并说明a2+a8=a10不满足性质“等式左右两边都是两项相加”.当然，教师要从严密性的角度解释问题3，在通常情形下，a2+a8=a10不成立，但对特定的等差数列，a2+a8=a10也可能成立，由a2+a8=2a1+8d=a10=a1+9d，即当a1=d时，a2+a8=a10成立.教师继续追问，上述性质怎样证明呢？学生自然知道用等差数列的通项公式代入证明，这时教师可再结合证明过程，说明性质运用的注意点，由等差数列的通项公式，得am+an=2a1+(m+n-2)d与ap+aq=2a1+(p+q-2)d，等式两边都是2倍a1且d的系数相等，要产生2倍a1，等式两边都应是两项.

问题3-1能否根据等差数列的性质“下标和相等，和相等”的注意点分析，将它拓展引申？

有了上述分析，学生不难回答问题3-1，“下标和相等”的前提是等式左右两边的项数要相同.比如，等式两边都是3项，即有结论：在等差数列{an}中，若m+n+l=p+q+r，则am+an+al=ap+aq+ar.

问题4为什么能用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式？

学生知道等差数列的前n项和公式的推导方法，但理解是否深刻？却难说.故用问题4促进学生对倒序相加法的理解.为什么能用倒序相加？因为等差数列有性质“下标和相等，和相等”，即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以运用倒序相加法求和，可得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)=n(a1+an).这样，学生不仅掌握推导方法，对方法的来龙去脉理解也更深刻.

问题4-1是不是只有等差数列的求和公式，才能用倒序相加法推导？

问题4-2给定等差数列的首项a1与公差d，等差数列随之确定，其前n项和Sn取决于项数n，那么Sn是关于n的什么函数呢？

问题5等差数列与等比数列有很多相似之处，由等差数列的性质，能类比到等比数列的哪些性质呢？

问题5-1等比数列的哪些性质不能由等差数列类比得到呢？

学生自然想到，等比数列的求和公式及推导方法不能通过类比得到，需要用错位相减法推导公式.将和式乘以公比并向右错一位，这时除首、尾两项外，各项对应相等，相减后，得(1-q)Sn=1-qn.然后，讨论q与1的关系，即得到求和公式，教师再解读公式运用的注意点.

最后，教师追问，什么类型的数列也能用错位相减法求和？学生很快就能答出，“等差×等比”型数列.继续追问，为什么呢？让学生思考错位相减法的内涵：和式乘以公比并向右错一位后，除首、尾两项外，各项公比的指数对应相等，相减后提取指数式，系数为等差数列的后一项减前一项，即公差，能够化简求和.然后，教师再举一个简单的例子，让学生操作体验一下这个基本方法.

问题5-2在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则数列S3,S6-S3,S9-S6,…是等差数列.试证明上述结论，并通过类比，找出等比数列的相关结论.

3 两点教学反思

通过《等差、比数列》知识点复习的教学设计，笔者对高三数学复习有两点想法，与读者交流.

(1)让课堂慢下来，多让学生内化.高三数学复习，学生有着做不完的练习，有太多不会做的题目，这些学生不会做的题目，催生了高三教学的快节奏，教师不停地讲，学生拼命地听，到头来还是错！依笔者看，学生不会做的题目未必要面面俱到地讲，倒不如选讲少量的经典题目，让课堂节奏彻底慢下来，上探究课，引导学生思考！思考知识方法的内涵，真正地让学生学懂数学，让学生学会分析问题，学会找解决问题的方法.就如本文，不惜时间探讨等差、比数列的相关知识点，充分让学生内化这些知识，虽然少讲了一些题目，但学生的理解深刻了，对他们解决具体的数列问题，肯定有帮助.

(2)合理设计问题，引导学生思考.教师所提的问题，是学生思考的方向，问题的质量，影响课堂的教学效率.笔者认为问题的设计要注意以下几点：一是方向性要强，既然是引导学生思考，就要让学生有思考的方向，不能让学生摸不着头脑，无所适从.当然，我们所讲的方向性强的问题，不是指收敛性问题，它完全可以是发散性问题，可以有多种解释、有多种思路方法；二是深入性要强，这里所讲的深入性，不是指难度大的问题，它是指学生通过思考，所得到的答案，要触及知识方法的内涵，要能揭示问题的本质，真正让学生有所悟，促进学生的理解；三是新颖性要强，学生每天都听同一个老师的数学课，容易审美疲劳，我们所提的问题要能调动学生的积极性，问题不能套路化，要尽量变着花样设计问题，才能吸引学生思考.

此外，我们所设计的问题，还要控制好难易度，太简单学生都会的问题，思考什么？没有价值！太难学生都不会的问题，容易挫伤学生的积极性.我们要提那些让学生跳一跳能够到的问题，跳一跳即必须要有思考，能够到即有一定数量的学生能解决.