以“数学素养”导引数学活动——《几何图形》教学实录与思考

胡 松

(江苏省南京市第二十九中学初中部 210000)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出：数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养．作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用．可见，“数学素养”作为数学教育的价值之一被数学课程所重视，发展学生的“数学素养”也应该成为数学课堂的必要任务．为此，我们在开展数学活动时，必须以“数学素养”为目标，导引课堂的方向与目标．本文结合《几何图形》的教学实践，谈谈本人的思考．

1 课堂实录

活动一

(1)欣赏图片，观察生活空间，抽象图形．

师：请观察图片中各种各样的物体，你看到了什么？

生1：我看到了这些物体有不同的形状，比如五星红旗上有五角星，五星红旗是长方形的．

生2：我看到了东方明珠上有球．

生3：……

师：除了这些物体的形状，你还关注到了什么？

生1：我关注到了这些物体的颜色．

生2：我关注到了这些物体是有大小的，比如东方明珠上的两个球一个大，一个小．

生3：我关注到了这些物体的位置，比如高速公路上的线都是平行的．

师：物体具有很多性质，物体的形状、大小和位置关系才是几何研究的内容．

师：在生活中和我们今天的现场，还能找到哪些熟悉的图形，请你举例．

生：冰箱可以看成长方体，铅笔可以看成圆柱，笔尖部分可以看成圆锥……

设计意图

这一环节从观察各种物体开始，分两个步骤进行．第一步骤，观察图片，让学生认识到形状、大小和位置关系是几何研究的内容；第二步骤，再联系生活，找出生活中物体的外形对应的图形．这一环节中，学生对图形的认识肯定还不是那么明确，还是在小学辨认图形的基础上进行回忆，这一环节可以称为学生对图形的第一次抽象，大部分学生应该停留在“模型即图形”的层面．作为小学学习的延续，这一次抽象虽然不完整，但能让学生体会到数学研究的内容，初步接受用数学的眼光认识世界的角度．

(2)观察长方体模型，形成几何图形的概念．

师：同学举例说到生活中有各种各样的长方体形状的物体，那么请同学们不用眼睛看，从学具袋中，摸出一个长方体的模型并观察你手中的长方体，说说你对长方体有什么认识？

生1：长方体有6个面，12条棱，8个顶点．

师：这6个面有什么特征呢？

生2：6个面都是长方形，它们两两相对，相对的两个面完全相同．

师：说的很好，他在描述这6个面的时候，注意到了从这6个面的形状、大小和位置关系的角度去描述．那12条棱和8个顶点呢？

生3：12条棱可以分成3组，每组的4条棱长度相等，并且互相平行．

生4：8个顶点由两条棱相交得到．

师：我们从各种各样的长方体物体中抽象出来的长方体、长方形、线和点，都称为几何图形，刚刚大家举出的各种各样物体中抽象出来的图形，也都是几何图形．

设计意图

这一环节是观察长方体模型，从中抽象出长方体、长方形、线和点．设计这一环节是为了延续上一个环节，学生在“模糊抽象”的基础上，对熟悉的长方体进行从整体到局部的观察，完成对图形的第二次抽象．这一次抽象的过程，让学生完全理解了如何用数学的眼光观察世界的方法，在接下来的活动中，也会根据这一数学活动的经验，去做出判断和选择．

(3)认识棱柱和棱锥．

师：在几何图形的世界里，有些图形我们还不太熟悉，今天我们来认识其中的两个．请大家看看(出示小熊饼干包装)，说说你对这个物体抽象出来的几何图形有什么认识．

生1：它有点类似圆柱，只是上下两个底面不是圆，是多边形．

师：这样的几何图形我们称为棱柱……

师：再请大家看看另一位新朋友(出示金字塔型包装)，你对这个物体抽象出来的几何图形又有什么认识．

生2：它有点类似圆锥，只是底面不是圆，是多边形．

师：这样的几何图形我们称为棱锥……

设计意图

这一环节是学生第一次认识棱柱和棱锥．对于棱柱和棱锥，小学没有介绍．这里通过学生的观察，类比长方体的认识过程，或类比圆柱和圆锥的认知过程，得到棱柱和棱锥的外形特征，从而完善初中简单几何体的知识．在这一环节中，培养学生能够通过自觉的联系和推理，发现已有知识和未知知识之间的联系，从而对未知知识的探索和认识更加的深刻．

(4)将几何图形分类．

师：请大家将几何图形进行分类，先独立思考，再和同桌交流一下，说说你分类的结果和分类的依据．

生1：我把几何图形分为两类，一类是立体的，比如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等；一类是平面的，比如：正方形、长方形、圆、三角形等．

师：那能说说看什么是立体的，什么是平面的？它们有什么区别呢？

生1：立体的有多个面，平面的只有一个面．

生2：立体的要占据空间，有体积，平面的不占据空间，只有面积．

师：一个几何图形的各部分不在同一平面内，这个几何图形是立体图形．一个几何图形的各部分在同一平面内，这个几何图形是平面图形．

设计意图

这一环节是对几何图形进行分类，区分立体图形和平面图形．这一环节是学生对抽象出的几何图形的再次认识，通过学生自己的理解和表达，表述立体图形和平面图形的区别．这里的难点在于如何用准确的语言表达立体图形和平面图形的区别，学生的表达可能是含糊的，生活化的，教师可以帮助学生逐渐完善．这一环节，通过尽可能让学生自己表达自己的观点，培养学生用数学语言表达世界的素养．

活动二

(1)折叠棱锥和棱柱．

师：请大家观察一下老师发给大家的纸片，你有什么想法？

生1：这张纸片可以看成是平面图形，我们可以通过折叠，得到一个立体图形．

师：好，那大家动手折一折．你得到什么？

生2：我得到一个三棱柱的模型．

生3：我得到一个四棱锥的模型．

师：通过刚刚的活动，大家有什么感悟？

生：能够体会到平面图形可以围成立体图形，立体图形也可以展开成平面图形．

(2)描述棱柱和棱锥的特征．

师：我们发现一个平面图形可以围成一个立体图形，请观察折成的三棱柱模型，说说三棱柱的表面包含哪些平面图形？

生1：三棱柱的表面包含2个三角形和三个长方形．

生2：两个三角形完全相同，并且是相对的两个面，三个长方形也是完全相同的，并且是相连的．

生3：三棱柱有9条棱，6个顶点．

师：我们看出，有些立体图形的表面包含着一些平面图形．反之，我们也可以利用这些平面图形来描述立体图形．请观察手中的四棱锥模型，描述四棱锥的特征．

生4:四棱锥的侧面是四个相邻的等腰三角形，底面是一个正方形．四棱锥有8条棱，1个顶点．

设计意图

在活动一中，学生对棱柱和棱锥进行了第一次认知，但显然学生的认识不充分，所以在活动二中，设计了对棱柱和棱锥的第二次认知活动．折叠棱柱和棱锥的模型并对它们的特征进行描述，目的有两个：第一，通过唤醒小学折叠正方形的记忆，让学生对立体图形和平面图形的联系有初步的感受，在观察、操作、想象、交流中发展空间观念；第二，观察棱柱和棱锥，对立体图形表面中包含的平面图形进行描述，逐步规范学生的数学语言．这一活动将观察、思考、表达融合在一起，发展学生的空间观念和推理能力，培养学生用数学思维分析世界的数学素养．

活动三

(1)摸出指定的几何体．

师：请同学拿出学具袋，同桌选一位代表，老师说出一个几何体的名称，请你从袋子中摸出它的模型，举起来，然后我们请摸的最快的同学说说你是怎么摸到的．

师：请大家摸出一个三棱柱模型．说说怎么摸到的．

生1：我先摸有棱的模型，然后找有两个完全相同的底面的，再找底面是三角形的．

师：同桌位换一位代表，请摸出一个四棱锥模型．说说怎么摸到的．

生2：我摸到有尖尖的模型，说明是椎体，再摸到棱，说明是棱锥，再摸底面是四边形，说明是四棱锥．

(2)根据几何体特征的描述，说出几何体名称．

师：请同桌互相合作，一位同学摸几何体模型并描述它的特征，另一位同学猜猜它的名字，然后交换进行．老师提两个要求：第一，描述几何体的时候，注意使用数学语言，要有条理的表达；第二，自己选择一个你认为描述最准确最好的几何体，准备汇报．

生1：我描述的是球，球是一个无棱无顶点的图形．

师：无棱无顶点就一定是球吗？其他同学有没有补充？

生2：不管从哪个角度看球体，它都是一个圆．

生3：我描述的是圆锥，圆锥有一个顶点，底面是圆形，侧面不是平面，是曲面．

师：能不能再详细的说说圆锥的侧面呢？

生4：圆锥的侧面可以展开成一个扇形．

师：很好！我们描述一个几何体的时候，如果这个几何体的各个面都是平面图形，我们便可以通过这些平面图形的形状、大小和位置关系描述；如果有的表面不仅仅是平面图形，我们也可以通过这些面的展开图，或者从不同的方向去看，或者这些立体图形的截面来描述．

设计意图

课堂进行到这里，学生应该对“实物——模型——图形——语言”有了初步的认识．这一环节中，学生将综合前面所学，经历一个由触觉感受模型、头脑想象图形、语言表达图形的完整过程，对本节课的活动过程再次进行完整的认识．

活动三分为两个环节，第一个环节是本节课对棱柱和棱锥的第三次认识．通过触觉，感受它们外形上的特征，完成触觉感知后，在头脑中想象它们的外形，这一环节的想象过程，要比前面的活动更为高级．第二个环节是同桌间进行的活动，完成“摸模型——想图形——说特征”这个过程，活动中学生会再一次认识到棱柱和棱锥的特征，完成了本节课对棱柱和棱锥的第四次认识过程．活动中，学生除了摸到棱柱和棱锥以外，还会摸到不仅仅由平面图形围成的几何体模型，如圆柱、圆锥、球等．学生会用展开和折叠、描述截面等方式来表达图形，这些都是学生在活动中的闪光点．

小结与提升

师：利用今天学习的知识，向同学介绍“中国馆”的外形．

生1：中国馆的下半部分是四个完全相同的长方体，上半部分是一个由6个面组成的图形，其中相对的两个底面是正方形，上面的正方形大，下面的正方形小，其余4个侧面都是相同的梯形．

师：刚刚这位同学在叙述的过程中，已经将中国馆的外形进行了抽象，并且分成了上下两个部分来描述，还有同学能对它的上半部分有其他的描述方式吗？

生2：中国馆的上半部分是一个四棱锥的顶部再切割掉一个小四棱锥，然后把这个图形倒过来．

师：非常好，大家已经用不同的方式，去描述我们未知的图形．当然，还有更加丰富的图形世界，留待我们今后慢慢研究．

设计意图

本节课的小结没有采用传统的问题式方式，而采用描述“中国馆”的外形这一活动，学生能自觉的将它抽象成图形，并分为两个部分，一个部分是熟悉的长方体，可以通过名称描述它的形状，另一个部分是不熟悉的棱台，可以通过表面的平面图形或者通过熟悉的立体图形描述它的形状，其实质就是学生在这节课里获得的知识和积累的经验的最美诠释．

2 对发展“数学素养”的教学思考

梁贯成教授认为“数学素养”就是在没有数学的地方，能看到数学、感觉到数学，能够用数学解决身边的一些问题或者工作中的一些问题．可见，“数学素养”应该理解为人的一种思维形式，它不可能通过某一节课完成，这是一个长期持续的过程，甚至很难用语言来描述它的目标或达成度，它是老师个人通过自己的教学，影响一群学生的过程．教师需要挖掘数学教学内容中的思维价值，尽可能在每一节课中，设计利于放大这些思维价值的数学活动，在数学教学过程中，通过学生的活动，将这种“思维形式”内化为自己的“思维习惯”．

2.1 理解数学，让数学活动有价值

对于教学内容，教师要挖掘其内部包含的育人价值，才会有更高的立意去设计教学，让这些育人价值在教学中发挥作用．《高中数学课程标准》把数学的核心素养定义为：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界．有了这样的认识，教师应当深度挖掘教学内容中，直指核心素养的部分，同时思考如何将核心素养融入到教学内容中，让教学内容不仅仅是传授数学知识与技能，更能对学生的数学素养的发展起到积极作用，真正体现数学的价值．当然，教师认识数学的高度有多高，决定了课堂的高度有多高，在这个过程中，教师要努力提高自身的“数学素养”，才能实施发展学生“数学素养”的教学．

基于以上的分析，对本节课的内容有以下的认识．几何图形是“图形与几何”的研究对象，一般按照“实物——模型——几何图形——文字表示——符号表示”的顺序认知．通过对立体图形和平面图形的分析，一方面让学生通过观察、操作、想象、交流，发现它们的联系，发展空间观念，另一方面培养和训练几何语言，为学生今后的学习建立语言表达的基础．

2.2 理解教学，让数学活动有生命

“数学知识与数学技能可以通过数学教学传授，学生可以通过数学教学接受．而数学素养只能在学生所经历的数学活动中产生，并在真实的情境中表现出来，数学素养的生存依赖于学生在数学活动中对数学的体验、感悟和反思．”

认识到教学内容的价值，就要将这些有思维价值的内容在教学中发挥作用，让其落实在课堂中，体现出生命力，那就必须理解教学．只有理解了教学，才能设计出好的数学活动，通过这些活动，数学内部的育人价值得以生存，并能放大，数学的活动才真正的有意义，才能使学生真正感受到数学的力量，也只有通过这些活动，数学才不会是纸上谈兵，借题发挥的空洞学科．

本节课设计的活动是：学生通过对实物图片的欣赏和对生活中物体的观察，抽象出几何图形．学生经历对几何图形的分类过程，了解立体图形和平面图形的区别，对几何图形有进一步的抽象认识．学生进行折纸和摸几何体的数学实验，利用不同的感官，对立体图形和平面图形的联系进行再认识．通过小组合作描述几何体的活动，激发几何兴趣，培养几何语言．

这样的活动，形式上多样化，内容上层层递进，内涵上直指数学素养，在实施过程中才有生命力．

2.3 理解学生，让数学活动有灵气

设计好了活动，那么接下来在教学过程中，老师要引导学生真正“动起来”．这里不仅仅是指动手，更要动脑，还要调动一切可以调动的感官，这就需要在教师理解学生的基础上，设计好的问题作为活动进行的纽带．

好的问题应当具有开放性，留给学生思考的空间，学生才能有所思考．问题过于直白，会代替了学生的思考，将最有价值的部分忽略掉．本节课中，反复的一个问题是：“你对该图形有哪些认识？”这个问题看似比较模糊，实际经过反复的打磨，就是希望把“想”和“说”的权利还给学生，让学生有时间去思考如何认识图形，应当从图形的形状、大小和位置关系去观察．教学中的提问不一定要多，但给学生 “想” 和“说”的时间一定要多，这样建立师生良好的沟通平台，这就是好问题的作用．

好的问题应当具有指向性．开放不代表没有方向，问题要让学生有思路思考，有办法回答．本节课中，对于几何语言的培养，问题设计体现了三个层次，第一层次的问题是“说出立体图形的表面包含的平面图形”，第二层次的问题是“请描述立体图形的特征”，第三层次的问题是“用数学语言有条理的描述”．这三个问题的指向非常明确，也层次分明．

好的追问应该问在关键点上．追问是在提出主要问题后，与学生交流中最重要的环节，能将学生在思维难点上逼向更广阔的空间或更高的层次．本节课中的第一问题是：“请观察图片中各种各样的物体，你看到了什么？”在老师不断的追问“除了这些物体的形状，你还关注到了什么？”学生就能向大小、位置关系、颜色、材质等方面去发散．

问题问的精简、精准、精尽了，必定能将高的立意在好的活动中发挥更大的作用，在数学教学过程中发展学生的“数学素养”．