《函数模型及其应用(第2课时)》教学设计与反思

广东省佛山市第一中学(528000)　吴统胜

广东省佛山科学技术学院数学与大数据学院(528000)　戎海武

2017年11月3日上午,广东省佛山市教研室和佛山市第一中学共同举办了主题为“重视主体发展,构建高效课堂”的教学研讨活动,活动吸引了广东省各地市的教育工作者近2000人.笔者有幸与佛山市教研室彭海燕副主任上了一节“函数模型及其应用”的同课异构课,两节课都获与会同行们的高度好评.“同课异构”的教研方式,可以引发参与者智慧的碰撞,可以长善救失,取长补短,明显提高课堂教育教学的效果,同时也为教师们提供了一个面对面交流互动的平台.华南师范大学何小亚教授高度认可“同课异构”的教研方式,他认为在开放、多元的教学环境中,有助于教师学习和借鉴他人的经验和做法,形成自己的教学特色,互相帮助、共同发展.何教授对两堂课在教学目标设计、师生互动、教学反馈等方面用幽默活泼的语言进行了专业、精准而深入的分析、探讨,并对上课教师提出了教学及专业发展的建议.何教授的数学教育情怀、敬业爱岗精神深深感染了与会数学同行们,何教授专业、幽默风趣而精彩的点评更是不时博得与会教师们的阵阵掌声!笔者整理了本节“同课异构”课的教学整体设计与课后的反思如下,与同行们分享.

【教材】人教版数学必修1第三章3.2函数模型及其应用第4课时

【教学对象】佛山市第一中学高一16班(重点班学生)

1　教材分析

1.1　教材内容分析

教科书用4个例题作示范,并配备了较多的实际问题让学生进行练习.在4个例题中,分别介绍了分段函数、指数型函数、二次函数的应用.本节中的例4是部分理想化后实际问题,是属于数学应用题的范畴,强调利用已知模型解决问题,但例4的价值很容易发挥不充分,即仅仅视作是利用所给与数据来求参数,而没有进一步挖掘自然增长函数的价值.例3,例5,例6是建立拟合函数模型解决实际问题.例6具有较大的探究空间,但教材基于散点图直接选取指数模型,并且选取了拟合最好的第2和第11组数据,为何选取这两组数据呢?为何不是其他数据呢?同样地,为何选取的是指数函数来拟合而非其他呢?这些都可以利用信息技术加以明晰和挖掘,让学生感受数学建模的真实过程,体验教材中的程序框图所描述的建模过程,充分发挥数学建模的育人价值,随着对知识学习的深化,学生将会在相关关系和回归分析中进一步体会到基于散点图的更为精确的函数模型.本节选取例4,例6做重点讲解.

1.2　教材的地位和作用

函数应用在高中阶段进行的数学应用教学中,显然具有非常重要的地位.一方面,函数是应用相当广泛的基本数学模型,它与现实世界和其他学科都有非常密切联系,在研究和解决问题中发挥着非常重要的作用,特别是函数思想渗透的普遍联系的思维、认识观念对人们观察认识世界更是起到了非常重要的作用;另一方面函数的思想贯穿整个高中数学始终,也决定了函数应用在整个高中数学的作用.函数基本模型的应用是本章的重点内容之一.

1.3　教学目标分析

结合上述的教材和内容分析,我们认为“3.2.2函数模型的应用举例”的主要教学目标是:

让学生通过四个例子,体会变量间的函数模型的广泛存在,让学生感受建立数学模型的过程和方法,体验所学的函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用,让学生认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,并能初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题,培养学生应用数学的意识和能力,提升学生的数学抽象、数学建模、数据处理等数学核心素养.

1.3.1　知识与技能

(1)初步理解数学模型、数学建模的两个概念;

(2)掌握数学建模的过程.

1.3.2　过程与方法

(1)经历解决实际问题的全过程,初步掌握函数模型的思想和方法;

(2)深化对函数图像与性质的认识,提高学生通过建立函数模型解决实际问题的能力.

1.3.3　情感态度与价值观

(1)体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程;

(2)感受数学的实用价值,增强应用意识,提升数学研究的意识和学习数学的兴趣;

(3)培养合作意识和合作精神及自主学习、自主探究的能力.

1.4　学情分析

上课的高一16班是重点班,学生数学思维活跃、数学普遍基础较好,之前已较系统地学习了指数函数、对数函数、幂函数等初等函数,对其图像和性质已掌握较好,但对如何建立函数模型,如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题存在困难,对信息技术的使用尚不够熟练.

1.5　教学重点、难点分析

1.5.1　教学重点

明晰数学实际问题建模过程,梳理和运用合适的函数模型解决实际问题.

1.5.2　教学难点

如何建立合理的函数模型将实际问题转化为数学问题.

2　教学过程

2.1　创设情境,引入课题

2.1.1　列举一些体现数学应用价值的事例 (PPT展示)

在美国科学委员会写给美国总统的咨询报告中特别强调:“高科技本质上是数学技术”.

C919大飞机(一经面世,国内订单即超700架)、歼-20,运20,轰20横空出世,大振国威,凝聚了大量顶尖科学家、数学家的心血,体现了我国科技水平(尤其航空航天等国防科技水平)的巨大进步!

可见国家的崛起强盛与数学学科及科学技术的大力发展,优秀数学家、科学家大量涌现有很大的关系!

2.1.2　讲述“费米与纸片”的小故事 (边展示PPT,边讲述小故事)

在世界上第一颗原子弹样品爆炸时,著名的意大利裔美国物理学家费米在远处观察掩体内松开了手中的纸屑,纸屑在他身后约2.5米处落地.于是,他掐指稍稍推算了一下,准确地估算出了该原子弹相当于2万吨TNT炸药的巨大爆炸威力.同事们都非常惊讶,非常佩服费米.

故事一讲完,学生哗然一片,也是佩服不已,学习兴趣高涨!

为什么费米仅仅根据纸屑落在身后的距离,就可以如此准确地估算出该原子弹的巨大威力呢?透过现象看数学的本质,涉及物理学的平抛物体运动(数理不分家).平抛物体的运动,其初速度就是此时冲击波气浪的速度.可从纸片落在地面的水平距离,得出此处冲击波气浪的速度大小.再由波动方程(大学物理)可求得原子弹爆炸中心的爆炸强度,从而可知原子弹爆炸中心的爆炸威力.(参考公式:

这里就涉及到数据的拟合问题,数据的拟合就是研究变量之间的一种关系,并给出近似的数学表达式的一种方法.

前面学习过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数,(几何画板图像展示)它们都与现实世界有着紧密的联系,有着广泛的应用.数学源于生活,又服务于生活,它和我们的生活密不可分.下面我们一起通过一些实际例子,来继续感受它们的广泛应用!

设计意图通过实际例子,体验数学的应用价值,提升学生学习数学的兴趣.

2.2　学生亲历建模,体验模型应用

设计意图给学生充裕的时间进行分析、整理、交流、抽象、提炼,让学生亲身经历建立函数模型的全过程,体验数学在解决实际生活问题中的作用,体会数学在生活中的应用价值,拓展学生的视野,培养他们分析问题、解决问题的能力,提升数学建模、数据处理等数学核心素养.

例1(《必修1》P103例4)(有关计划生育国策背景的例题,已知函数类型,学生自主、合作、探究,分析、处理数据,亲身经历建立数学模型全过程,体验数学在解决实际生活问题中的作用,体会数学的应用价值)

人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:y=y0ert,其中t表示经过的时间,r表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.

表1是1950～1959年我国的人口数据资料:

表1

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;

(2)如果按表1的增长趋势,大约哪一年我国的人口达到13亿?2018年我国人口将达到多少亿?

提问1该指数型人口增长模型有几个参数,如何求?

学生小组合作,求出该人口增长模型.

设1951～1959年的每年人口增长率分别为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8,r9,该期间年平均增长率为r.计算填表:

表2

提问2能否直接利用该函数模型进行预测?还需检验是否符合表中所给数据,逐点代入检验或利用信息技术画图检验.

提问3除了该指数型函数,是否还可以用其他的函数模型对其进行拟合?学生回答:一次函数、二次函数、指数型函数、幂函数型函数等.

其实我们平时常用的电子表格就具有简单的数据分析处理功能,并能进行函数的拟合.下面请同学们和老师一起利用信息技术找寻拟合函数(示范并引导学生初步学会利用信息技术找寻拟合函数的方法,以便今后分析处理类似问题,体验信息技术在分析处理数据的简便、快捷、高效)!

设计意图初步渗透数据拟合思想,锻炼学生数据分析处理能力,体会建模过程,培养学生合作意识和品质.新的教学大纲中明确提出要“培养学生解决实际问题的能力”,要求“增强用数学的意识,能初步运用数学模型解决实际问题,逐步学会把实际问题归结为数学模型,然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验使问题得到解决”.

变式小应用

截止到1999年底,我国人口约13亿,如果经过30年后,我国人口不超过18亿,那么人口年平均增长率不应超过多少(精确到0.01)?

对于未知函数类型,我们该如何建立恰当的函数模型呢?一起来看下面的例子:

例2(《必修1》P105例6)(未知函数类型,需先比较选择函数模型,再利用数据拟合函数模型并选择模型进行预测.题目背景:未成年人身体健康状况调查)

某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表3:

表3

(1)根据上表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.

(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这一地区一名身高为175 cm,体重为78 kg的在校男生的体重是否正常?

设计意图通过问题链引导学生继续通过小组活动、探究讨论,让学生经历数学建模及“好”模型的选择过程,深化学生对数学建模的认识,使学生获得科学的数学建模理论,培养学生数学建模能力.

提问4根据表中数据,能选择函数模型类型吗?

学生:需作出散点图,再作选择.

学生动手建系,画散点图.

提问5根据散点图(如图1)的特征,我们可以考虑利用哪类函数模型来刻画该这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?

图1

学生纷纷回答:可选择指数型、二次函数型、幂函数型函数.

提问6若选取指数型y=abx(b＞0且b̸=1)作拟合函数,要确定其中的参数,需选取几个点的坐标代入?

学生:两个参数,选2个点代入求解.

提问7是否可以任意选择两点?代入相邻或相近的两点可否?任取两点,共有多少种方法?对应多少种该指数型函数?

学生:任意选择两点,共有45种方法.

提问8对应45个指数型函数解析式,如何从中选择最恰当的函数模型并运用其进行预测?

提问9其他点是否基本满足该函数模型,还需检验!如何检验?(思考课本为何代入(70,7.90),(160,47.25)确定该指数型模型?见图2)代入其他各点求出预测值与实际值对比检验或画图检验,查出异常点.如若两个拟合函数拟合情况非常接近,又该如何做出判断选择呢?

图2

学生自主探究、亲历建模过程.

请同学们动动手,通过计算,建立恰当的函数模型,并根据所得函数模型预测这一地区一名身高为175 cm,体重为78 kg的在校男生的体重是否正常?

学生自主活动、探究

学生利用信息技术求出拟合函数并进行预测,小组选派代表上台,交流探究活动的结果.(学生选择拟合函数类型,并求出该拟合函数.)

学生小组代表上台展示拟合函数,并发言总结.

提问10如何选出恰当的函数模型对数据进行拟合?

学生:类比距离,不妨定义一个偏差模型:设数据点(xi,yi),则偏差为偏差越小,拟合程度越好.

利用信息技术找寻拟合函数,并作出拟合程度好坏的判断.

图3

注意检验模型,检验的方法:①代入点检验,看是否基本符合函数模型?②画图检验.

教师利用信息技术进行函数拟合,并引入拟合度R2的概念,注意解释其中拟合程度的量R2的意义:R2越接近1,函数拟合效果越好,模拟函数与所采集给出的数据吻合越好,越精确,反之,拟合效果越差.充分体现信息技术在处理数据等方面带来的优越性!

随着学习的深入,到相关分析,回归分析时,学生可以进一步体会到,部分样本点和全样本点的差距以及感受到偏差与最小二乘法之间的异同和升华.

该题小结:收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验(若不符合,重新选择函数模型)→用实际模型解释实际问题

明晰什么是数学建模?什么是数学模型?

1.数学建模就是运用数学化的手段从实际问题中提炼,抽象出一个数学模型,求出模型的解,检验模型的合理性,从而使这一实际问题得以解决的过程.

2.数学模型简单说,数学模型就是用数学语言来模拟空间形式和数量关系的模型.确切地说,数学模型就是对于一个特定对象为了一个特定目标,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构.一切数学概念、公式、理论体系、算法系统、表格、图示等都可称为数学模型.

2.3　课堂练习 《必修1》P106练习2;P107A组练习5.

2.4.　课堂小结与布置作业

2.4.1　小结

(1)解决实际问题的一般步骤

实际问题(抽象概括)→数学模型(推理演算)→数学模型的解(还原说明)→实际问题

(2)数学思想方法渗透、数学核心素养培养:

①体验所学的函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用,培养学生应用数学的意识和能力,数学运算求解能力,提升学生的数学建模、数据处理等数学核心素养.

②渗透转化与化归、数形结合等数学思想.

2.4.2　布置作业

《必修1》P107A组1,2,B组1《高考调研》P61例1,例2

2.5　板书设计

______3.2.2函数__________________模型及其应用一.引入新课二.建模例1例2(板书解题过程)三.课堂练习四.课堂小结__________________________________________五.布置作业

3　教学反思

3.1　课前反思

数学建模是运用数学的语言和知识、方法,通过抽象,简化建立能近似刻画表达并分析解决实际问题的数学模型.数学建模是对现实问题进行抽象,用数学语言表达和解决问题的过程.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁,是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学知识解决实际问题的基本手段,是推动数学发展的外部驱动力.通过数学建模核心素养的培养,学生能够掌握数学建模的过程,积累用数学的语言表达实际问题的经验,提升应用能力和创新意识.在数学教学中开展数学建模活动,提高学生运用所学的知识解决实际问题的能力,是适应当前教育改革和开展素质教育、实施新课标的迫切需要.

无论从教育、科学的观点来看,还是从社会和文化的观点来看,数学应用、数学建模都已被广泛地认为是重要的.新的教学大纲中明确提出要“培养学生解决实际问题的能力”,要求“增强用数学的意识,能初步运用数学模型解决实际问题,逐步学会把实际问题归结为数学模型,然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验使问题得到解决”数学教学不仅要使学生获得新的知识而且要提高学生的思维能力,培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活、生产中遇到的问题,从而形成良好的思维品质,造就一代具有探索新知识,新方法的创造性思维能力的人.

著名数学家怀特海曾说:“数学就是对于模式的研究”.所谓数学模型,是指对于现实世界的某一特定研究对象,为了某个特定的目的,在做一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,并通过数学语言表达出来的一个数学结构,数学中的各种基本概念,都以各自的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念.各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等,都是一些具体的数学模型.

建模教学中必须坚持以学生为主体,必须以调动学生的主观能动性,培养学生的创新思维为出发点,引导学生自主活动,自觉地在学习过程中构建数学建模意识,只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步,也只有这样才能真正提高学生的创新能力,使学生尝到有用的数学.

3.2　课后反思

引入及例题1所花时间多了些,导致例题2学生的自主活动、自主探究、总结探究成果的时间稍显不够.

简约、自然、高效、本真、灵动的数学课堂教学才是我们应追求的.“简于形而精于神”,数学课堂才会散发出生命活力和独有的数学味道.

在数据拟合时能够合理运用信息技术进行处理,实现了信息技术与数学课程的有机整合.这节课不仅体现了数学建模思想,而且注重渗透函数拟合思想.

3.3　教学后记 (个人平时教学的一些思考、感悟)

(1)“倡导积极主动、用于探索的学习方式.”是高中数学新课程的基本理念之一.章建跃博士认为:“从数学知识发生发展过程的合理性,学生思维过程的合理性上加强思考,这是落实数学学科核心素养(数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析等)的关键点.”在实践新课程的过程中,教师要积极主动地贯彻落实这一基本理念.数学学习的核心是思考,离开思考就没有真正的数学.教学设计应该遵循如何促进学生主动建构,如何引导学生深度学习,如何培养学生数学思维能力,发展核心素养.教师要重视问题情境的创设,在此基础上向学生提出恰当的问题,努力推进学生的数学活动:动手操作、分组学习、自主探究、合作交流!教育的根本目标是育人,数学教育理应把育人放在首位.“从数学学科教学的角度,作为人的发展,就体现在发展人的认知力.”认知力的重要含义就是研究新情况、解决新问题的能力,其中蕴含着创新、创造的能力.数学课要把发展学生的认知力作为教学的最大目标,着眼于学生的长远发展利益,实现其终身可持续发展.

(2)我们教师要勤于思考、善于总结反思,要重视教育教研工作!缺乏了教科研精神的教师,很难成为一个真正的“师者”!我们要做一个有思想、学术型、研究型的教师,要勤于思考,善于总结反思!教研教研,就是“教”与“研”!教学中,有的教师往往重视了“教”,而忽视了“研”!经验是教师专业发展的重要资源,反思是教师成长的必然之路.教学反思的方式有撰写论文、记录教育案例和开发校本课程等,而撰写论文是促进中青年教师专业快速成长的最有效途径之一.希望教师能认真解决好教育教学中遇到的问题,将平时的教育教学反思、总结加以提炼升华成学术研究的成果,撰写出高质量的论文发表在专业数学期刊上.教师要不断学习教育教学理论,努力提高教育教研水平,提升教师素养.只有视野更高更广,境界更高,对问题才能看得更深、更透,教育教学的效果必然也会更好,从而更有利于学生综合素养的提高,更有利于学生的终身成长与发展!