从概念到素养

冯回祥

前不久，我阅读了华东师范大学课程与教学研究所所长崔允漷教授“试论核心素养的课程意义”这篇文章。崔教授以学习开车为例，深入浅出地阐述了什么是知识、技能、能力、素养以及它们之间的关系，让人深受启发。

对于一个驾驶员来说，学会交规、掌握驾驶技术，是上路开车的基本能力；良好的文明、安全驾驶意识，尊重人生命的意识则是学习开车的核心素养。联想到课堂教学，传授给学生扎实的基础知识，训练学生过硬的解题技能，是每一个教师都高度重视的问题，而且都做得很好。但实事求是地讲，我们在培养学生的数学意识、数学素养等方面做得还不够好，这会影响到学生的终身发展。犹如司机只会开车，没有安全意识，那是非常可怕的事。

笔者认为：培养学生的数学核心素养，其实也不是难事，只要我们有意识地把数学课标中提出的“10个核心概念”落实到课堂教学中去，帮助学生理解数学的基本思想，把握数学的本质，就能有效地培养学生的数学核心素养。下面结合自己的教学经验，谈几点有关数学核心素养培养的路径和思考。

数形结合：培养数感、几何直观的综合体现

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟，良好的数感有利于形成科学的直觉。具备良好数感的人应该具有对数和数运算的敏锐感受力和适应性，能够有意识地用数学知识去观察、理解和表现客观事物的数量关系、数据特征等。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，它在整个数学学习过程中发挥着重要的作用。因此，这两个核心概念在培养学生核心素养时是不可或缺的。

在教学实践中，数形结合是打通数感和几何直观的有效方式，也是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，让数的概念和关系直观化、形象化、简单化的方式。

例如，在教学《小数的意义》时，我们借助于几何直观，帮助学生理解小数的意义，建立数的概念。比如，通过米尺直观图引出十分之几、百分之几、千分之几的数都可以用小数表示。在此基础上，再借助米尺图让学生在图中找出具体的小数，帮助学生抽象出小数的意义。

在教学《相邻计数单位之間的十进制关系》时，教师一般是通过课件把一个正方体平均分成10份，再平均分成100份，再平均分成1000份，引导学生观察发现，每相邻两个计数单位间的进率是十，从而顺利且有效地帮助学生理解相邻计数单位之间的十进制关系。最后通过设计在数轴上找整数和小数这样一道训练题，可以有效沟通整数与小数之间的联系。以上明确“意义”，弄清“进率”以及沟通 “联系”的过程，既是一个掌握概念的过程，更是一个数形结合的过程。又如，教学《有余数的除法》时，借助于几何直观来理解抽象的算式中每个数与运算符号的意义，如，13÷4=3……1，从而建立“形”与“有余数除法算式”之间的关系（如下图）

以上两例的教学过程中，教师都注重了运用数形结合思想来培养学生的数感和几何直观。我们平时要重视这样的直观教学，帮助学生学会抓住数与形之间的联系，让学生善于以“形”直观地表达数，善于以“形”来理解数量关系和解决问题。学生在“学会”且“善于”之中，建立了良好的“数与形对应”的数学意识。

自主探究：培养空间观念、渗透推理的有效手段

学生学习数学的过程是探究、创造并应用数学的过程。核心素养更加注重学生的“自主发展，合作参与，创新实践”。现在越来越多的教师在教学中注重创设丰富多彩的问题情境，特别是现实情境，设计形式多样的探索活动，让学生面对有价值的数学问题，自主思考，合作交流，提出个性化的解决方法，培养学生的空间观念，渗透推理的能力。

空间观念指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体，想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化，依据语言的描述画出图形等。建立空间概念，有利于培养和发展学生的形象思维。

例如，教学《长方体的认识》一课，我们要注重培养学生的自主探究及合作学习的能力。教师先让学生拿出长方体看一看、摸一摸，加深对长方体的感性认识，然后再分组合作探究：长方体的面、棱、顶点各有怎样的特征？接下来，学生通过“量一量”“比一比”发现了相对的棱的长度相等；通过“算一算”又发现了相对的面的面积相等。整个探究过程，是一个边操作，边思考，边讨论的过程。在大家共同的努力下，他们分别探究出了长方体面、棱、顶点的特征。这样的探究过程，不仅加深了学生对长方体的认识，而且培养了学生合作交流的意识，极大地激发了学生学习数学的兴趣，学生的空间观念也自然得到了培养和发展。

在给学生建立千米、公顷、立方米等概念时，由于这几个概念比较抽象，难于形成深刻印象。因此，在教学之前，我们可以安排前置作业：让家长带孩子去走一走大约1千米长的路，去看一看大约1公顷的地方（一般来说，一所小学大约在1-2公顷）。教师在课堂上用1米长的三维尺，借助墙面围一个1立方米的空间，让学生去“钻一钻”，并引导学生观察思考1立方米空间大约可以容纳多少个小学生？从而体会到1立方米空间的大小。多年的实践表明，只要是让学生去“走过”“看过”“钻过”，学生不仅能顺利地掌握所学概念，而且“刻”在头脑中的这些“长度”“面积”以及“体积”应该说是一辈子也不会忘记的。如此教学，学生的空间概念可以真正地得到培养和发展。

推理是数学的基本思维方式，推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理的实质是“发现——猜想”。杜威曾说：“科学的每一项巨大成就，都是以大胆的幻想为出发点的。”对数学问题的猜想，实际是一种数学想象，是一种创新精神的体现。在数学教学中，要鼓励学生大胆提出猜想，富有创造性的学习数学，让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，分享自己的想法，锻炼自己的数学思维。

例如，在教学《平行四边形的面积》时，在探索平行四边形面积公式的环节中，教师可以先让学生将平行四边形不满一格的迁移合成一格，再经过数方格的方法求出平行四边形的面积。接着，教师引导学生回顾长方形面积公式，让学生猜一猜，平行四边形的面积公式会是怎样的？最后引导学生通过操作，剪一剪，移一移，拼一拼，把平行四边形转化成学过的长方形，从而推出平行四边形面积计算公式并验证猜想的结果。当然，我们还可以先让学生回顾长方形面积计算公式，然后再让学生大胆猜想平行四边形的面积计算公式，并说明猜想的理由。课堂上，有学生猜想它的面积计算是邻边相乘，理由是长方形面积是相邻的两条边相乘。显然，学生这样的猜想是一种“负迁移”，属于正常认识。当这种猜想出现时，立马引起了很多孩子的反驳，而且反驳的理由相当充分。最后通过操作活动，从长方形拉成平行四边形提出猜想：平行四边形的面积可能是底乘高，接着再让学生去验证。

如果说这是一个猜想、探究、活动的课堂，那么它也是一个创新的课堂。因为学生的思维火花在这里得到了碰撞和绽放，学生追求真理的精神也得到了充分体现。

合理提炼：培养模型思想和应用意识的重要方法

模型思想是三个数学基本思想之一。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，是数学学习中不可缺少的。它不仅可以为数学的语言表达和交流搭建桥梁，而且是解决现实问题的重要工具。数学应用意识有两个方面的含义：一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认識到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。由此不难得知，数学教育应该是通过具体的问题来传授抽象的数学内容，应该从学习者所经历、所接触的客观实际中合理提炼问题，然后升华为数学概念、运算法则或数学思想。因此，数学教学必须加强应用意识，才能显露数学教育的本色。

例如，教学《乘法的分配律》一课，教师首先让学生分组，根据不同的算式编数学问题。几个组编“（3+8）×4”的问题，另几组编“3×4+8×4”的问题，通过辨析编写的数学问题，沟通两个数学算式间的联系。接着引导学生观察等式的特点，再写出符合这个特点的等式。如，学生写出（10+25）×8和10×8+25×8等算式后，让学生进行验证。当学生发现这样的式子写不完时，教师可顺势提问：“能不能用一道等式把这个规律表示出来呢？”

在教师的引导下，学生想到了用字母来表示定律，即（a+b）×c=a×c+b×c，从而建立了“乘法分配律”的模型。接下来学生就可以运用模型去进行简便计算及解决问题。这样的教学过程，不仅关注了运算定律的形式化表达，还培养了学生的抽象能力和模型思想。当然，在小学数学中，概念的形成、公式的推导以及方法的归纳等过程也是数学模型的建构过程。通过建模教学，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，为学生的终身学习和持续发展奠定基础。因此，在数学课堂教学中，要逐步培养学生数学建模的思想，形成学生良好的思维习惯和应用数学的能力。

培养学生从小用数学的意识，就是要用数学的眼光，从数学的角度观察事物、阐释现象、分析问题。意识是一个思想认识，也是一种心理倾向，其重在自觉性、自主选择性，它需要在较长时间中通过一定量的实践才能形成。平时的数学教学中，只要我们注重用数学解决学生身边的问题，注重用学生容易接受的方式展开数学教学，注重学生的亲身实践，重视在应用数学中传授数学思想和方法，把培养学生解决实际问题的能力作为教学内容的主线，通过“问题情境——建立模型——解释与应用”的基本体系，多角度、多层次地编排数学应用的内容，使自己的教学艺术达到引人入胜、至臻完善的境界，就能更有效地激发学生的学习兴趣，培养其数学素养。

当然，学生数学核心素养的培养并非一朝一夕之事，而是一个长期的潜移默化的过程。教师在平时的教学过程中要不断去探索和总结经验，既要关注“四基”“四能”的教学，又要重视数学思想方法，特别是“核心概念”的培养，这样培养学生的数学核心素养和关键能力就接了地气。

（作者单位：华中科技大学附属小学）