二项式定理学习直通车

■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用,又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用,又可为进一步学习概率统计做好必要的知识储备。那么,什么是二项式定理?让我们一起来学习吧!

一、二项式定理知识要点

(a+b)n=(n∈N*),这个公式叫作二项式定理,等号右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,共有n+1项,其中各项的系数

(一)二项式定理

(k∈{0,1,2,…,n})叫作二项式系数,这个公式叫作二项式定理。二项展开式中的叫作二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第k+1项:Tk+1=

注意:二项式系数是指,它是组合数,只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关。如(a+bx)n的展开式中,第r+1项的二项式系数是,而该项的系数是。当然,某些特殊的二项展开式如(1+x)n,各项的系数与二项式系数是相等的。

(二)二项式定理的性质

(1)对称性。与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。事实上,这一性质可直接由公式Cmn=Cn-mn得到。

(2)增减性与最大值。当项式系数是逐渐增大的;当式系数是逐渐减小的。因此二项式系数在中间取得最大值。当n是偶数时,中间的一项的二项式系数最大;当n是奇数时,中间的两项的二项式系数相等且最大。

(3)各二项式系数的和。已知(1+x)n=。令x=1,则。也就是说,(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和为2n。

(4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,即

(三)必记结论

(1)Cknan-kbk是第k+1项,而不是第k项。

(2)通项公式中a,b的位置不能颠倒。

(3)通项公式中含有a,b,n,k,Tk+1五个元素,只要知道其中四个就可以求出第五个,即“知四求一”。

二、二项式定理基本题型

(一)求二项展开式中指定项或指定项的系数

例1 已知在中,第6项为常数项。

(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项。

因为r∈Z,所以k应为偶数。故k可取2,0,-2,即r可取2,5,8。

点评:①解此类问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项。②求二项展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,找出所有的变量的指数恰好都是整数的项。解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解。若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项的方式一致。

(二)二项式系数问题

例2 在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和;(4)系数绝对值的和。

解析:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9。

(1)二项式系数之和为。

(2)各项系数之和为:a0+a1+a2+…+a9。

令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1。

(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1。①

令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=(2+3)9=59。②

(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…+a8-a9=59。

点评:二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值均成立。因此,可将a,b设定一些特殊的值。在使用赋值法时,令a,b等于多少,应视具体情况而定,一般可取“1,-1,0”,有时也取其他值。一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式的各项系数之和为f(1),奇数项系数

(三)二项式定理的应用

(1)计算近似值。

例3 求1.00355精确到0.001的近似值。

解析:1.00355=(1+0.0035)5=1+C15·0.0035+…,因为只需近似到0.001即可,所以后面的不需计算,其近似值为1.0175,约为1.018。

点评:当a的绝对值与1相比很小时,且n不大时,常用近似公式(1+a)n=1+na。

例4 求1.9975精确到0.001的近似值。

解析:1.9975=(2-0.003)5

=25-C15·0.003·24+C25·0.0032·23-…=32-0.24+0.00072-…≈31.761。

点评:当a的绝对值与1相比有一定的差距时,我们常构造成(b+a)n或(b-c)n的形式,然后利用二项式定理计算。

(2)证明整除问题或求余数。

例5 试求199510除以8的余数。

解析:199510=(8×249+3)10。

因为其展开式中除末项为310外,其余的各项均含有8这个因数,所以求199510除以8的余数与310被8除的余数相同。

310=95=(8+1)5,展开式中除末项为1外,其余的各项均含有8这个因数,所以310被8除的余数为1,即199510除以8的余数也为1。

点评:解决这类问题,必须构成一个与题目条件有关的二项式。

例6 求证:32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除。

证明:32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9

=-8n-9

=+1-8n-9

=。

该式每一项都含有82因式,故其能被64整除。

点评:利用二项式定理证明有关多项式的整除问题,关键是将所给出的多项式通过恒等变形为二项式形式,使其展开后的各项含有除式。

三、二项式定理的思想方法

(一)函数与方程思想

例7 已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=29-n,求n。

分析:对二项式系数求和问题可用赋值法。

解:a0=1+1+…+1=n,an=1。令x=1,则2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an。

所以2n+1-n-3=29-n,n=4。

点评:二项式定理的应用中,求有关系数的问题时经常是列出方程,通过赋值求解,把二项展开式看作x的函数f(x),将其系数问题与函数值f(1)的展开式相联系。

(二)构造思想

例8 已知(3x+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992,则在求:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项。

分析:首先根据题设条件解出n的值,再根据题设条件进行求解。

在此,需构造如下不等式组,以获得系数的绝对值最大的项对应的r值。

故的项是第4项,T4=-C31027x4。

点评:在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负,当然还须考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异:对于(a+b)n来说,二项式系数只与二项式的指数和项数有关,与二项式中a、b的值无关,而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关,还与二项式中a、b的值有关。

(三)转化思想

例9项为-20,求n。

无论是哪一种情况,常数项均为(-1)nCn2n。令(-1)nCn2n=-20,以n=1,2,3,…逐个代入,得n=3。

点评:这种把三项式转换为两项式然后利用二项式定理把二项式展开求值的思路,在求解二项式问题中是一种常见的处理方法,也包括把四项式转换为两项式。这就是说当我们遇到三项式或四项式时,要先试一试是不是能转换为两项式,然后再用二项式定理解决问题。