例谈特殊值法在初中数学中的几点应用

□ 海南省儋州市第五中学 雷荣强

初中数学解题存在很强的灵活性。有的数学题不只一种解法而有多种解法，有的数学题用常规方法解决不了，或者运用起来运算量大，耗时多，要用特殊方法。因此，运用特殊值法解题在升学考试中至关重要，是“小题小做”的重要策略，不能忽视。本文就特殊值法在解决初中数学中的应用，现从以下几个方面做些探讨。

一、特殊值法在数学运算法则推导中的应用

在初中阶段部分数学法则可以采用特殊值法进行推导，例如有理数的运算法则、整式的运算法则的推导，在教学过程中，教师可以先不给出运算法则，而是先给一些与法则相关的数值的运算，然后由学生自己探究、归纳出运算法则。在探究新知的过程中让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，让学生在自主实践中获得运算法则，从而构建新的知识体系，便于公式的理解与记忆，现举例说明。

例1同底数幂的乘法法则的推导过程：

根据幂的意义填空：

观察一下上面各题有什么共同特点？等式左右两边的底数、指数有什么关系？

引导：如果把a3·a4中的指数3和4分别换成字母m和n（m,n为正整数），你能写出am·an的结果吗？

归纳：同底数幂的乘法法则：am·an=a（m+n）（m,n 为正整数）。就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

小结：以上就是同底数幂的乘法法则的推导过程，在推导过程中，教师运用特殊值法，取一些特殊数值的运算，让学生自己根据已学过的知识进行运算，引导学生探究、归纳出同底数幂的运算法则。

二、特殊值法在数轴中的应用

在数轴中经常碰到这样的问题，在一个数轴上给出大概位置的几个点，即不能读出准确数字，如何比较这些点之间的数量关系呢？对于此类数轴上的问题，可以采用特殊值法，对这些点进行赋值运算，比较他们之间的数量关系，现举例说明。

例2（2009年江苏省中考题）如下图1所示，数轴上A，B两点分别表示实数a，b，则下列结论正确的是（ ）A、a+b＞0 B、ab＞0 C、a-b＞0 D、｜a｜-｜b｜＞0

解：由图 1 知，0＜a＜1,b＜-1，不妨令 a=0.5,b=-1.5，则 a+b=-1＜0，ab=-0.75＜0，a-b=2＞0，｜a｜-｜b｜=1＜0，综合各个选项，只有C项正确，故选C

小结：对于此类问题，特殊值法是最有效的武器。其求解关键在依据题意，选准特殊值验证。赋予我们常见的特殊值去求解，从而使得解题过程既简便又快捷。

三、特殊值法在不等式中的应用

在不等式中经常会碰见这样的题型，给出一些未知量的范围，然后让你比较与这些未知量有关的代数式的大小。在平时的教学过程发现，学生遇到这类客观题时感觉很难，无从下手似的，而特殊值法在解决这类题型时有它的独特优势，请看下面例题。

例3（2006年天津市中考题）若0＜x＜1，则x,x2,x3的大小关系是（ ）

解析：常规法：Q0＜x＜1，两边同时乘以x得0＜x2＜x，

两边同时乘以 x 得 0＜x3＜x2，∴x3＜x2＜x，故选 C特殊值法 Θ0＜x＜1而有 x3＜x2＜x ，故选 C。

小结：两种方法一比较发现特殊值法更直观，更容易让学生理解；通过对比，我们发现在考试中运用特殊值法更能提高解题效率。

变式题：如果a＜0,a+b＞0,把a,--a,b,--b用“＞”连结应是（ ）

（A） a＞-a＞b＞-b （B）b＞-b＞-a＞a

（C） b＞-a＞a＞-b （D）-a＞a＞b＞-b

四、特殊值法在二次根式中的应用

A、x≤1 B、x≥1 C、x＞1 D、x＜1

解析：这是一道客观题，观察四个选项，不难发现，通过运用特殊值法对自变量x取三种值：大于1，等于1或小于1，就可以做出选择了，下面分情况取值：（1）当 x＞1 时，即令x=2，则，自变量x无意义，故x＜1不可以，得出选项是答案B。

A、x≤1 B、x≥1 C、x＞1 D、x＜1

小结：在平时的测试与练习中，发现有学生经常把例4答案选C，变式题答案选B，造成出错的原因是x是否等于1的问题，如果能采用特殊值法赋值x=1，代入计算，就能很好的解决这个问题了。

五、特殊值法在求代数式值中的应用

一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。若已知条件不知字母所取的数值，而是给出一些含有字母的方程，同时求解字母的值比较困难时，这种求代数式的值比较复杂，我们一般采用整体代入法进行求代数式的值，但有时运用特殊值法更简便，请看下面例题。

例 5、已知 a+b=3，ab=2 则 a2+b2=__________。

解析：本题就是上面所谈到的一种比较复杂情况下的求代数式的值，接下来分别采用上面提到的两种方法解答：

（1）整体代入法：a2+b2=a2+2ab+b2-2ab(a+b)2-2ab，将 a+b=3，a+b=2 代入，得；a2+b2=（a+b)2-2ab=32-2×2=5

（2）特殊值法：观察已知条件，令，，则

小结：上面例题运用了两种解题方法，不难发现，在能运用特殊值法的情况下，运用特殊值法能更快速，更简单的求出代数式的值，这也说明了特殊值法是求代数式值中的一种简便方法。

六、特殊值法在几何问题中的应用

在一些看似复杂的几何问题中，常常可以运用特殊值法来进行求解，请看下面例题。

解析：此题若不用特殊值法需要去寻找两者的数量关系，而这些关系还要靠字母体现出来。操作起来比较复杂，若用特殊值法，数量关系明了，能轻松顺利地解答。请看下面的特殊值法：设原来圆柱半径为1，高为4，则后来圆柱半径为4，高为1。

则原来圆柱体积为4л，后来圆柱体积为16л。

因此后来圆柱体积是原来圆柱体积的4倍，故选答案D。

七、特殊值法在函数中的应用

在平时的教学过程中，我们发现函数的学习对于初中生来说是一大难点，很多学生抱怨函数比较抽象，难理解，比较难学，如果在一些函数的题型中适当的运用特殊值法，将抽象的问题直观化，对于学生来说就容易理解了，现举例说明特殊值法在函数中的一些应用。

例7、已知一次函数y=-3x+1上两点坐标分别为A（x1，x1），B（x2，x2），当 x1＜x2时，试比较 y1__________y2

解析:常规法：比较一次函数上两点坐标A、B函数值y1，y2的大小，因为这里的K=-3＜0，根据一次函数的性质可知，函数值y随x的增大而减小，所以当x1＜x2时，反而 y1＞y2，

特殊值法：令x1=0，则y1=3×0+1=1，令x2=1，则y2=3×1+1=-2，很显然 y1＞y2。

小结：两种方法一比较，发现运用特殊值法，将一个抽象的问题具体化，更直观，有利于学生的理解。

八、特殊值法在假命题判断中的应用

命题是可以判断真假的，要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例子，说明该命题不成立即可，而何为举反例呢？即举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子，运用特殊值法来举反例，能让我们迅速判断一个命题为假命题，现举例说明。

例8、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举出一个反例加以说明：

两个锐角的和等于直角；

若｜a｜=｜b｜，则 a=b；

解析：（1）假命题，反例：运用特殊值法将两个锐角可以分别取 30°，45°，而 30°+45°=75°，不等于直角，从而判断是个假命题；

（2）假命题，反例：将a,b两个字母取特殊值，例如a=1,b=-1，｜a｜=｜b｜，但是 a≠b，从而判断是个假命题。

上述的实例说明，特殊值法是解决数学问题的一种重要方法，往往能起到事半功倍的效果。数学家希尔伯特曾讲过：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起更为重要的作用”，因此在平时的教学过程中，不仅要学生学会一些常规解题方法，而且要学会运用特殊值法，这样有助于培养学生一题多解，一题巧解的能力。