面向关键设备系统多层级维修服务的性能合同设计及激励机制

秦绪伟 ，刘 虹 ，蒋忠中，纪俊杰

（东北大学1a.工商管理学院；1b.行为与服务运作管理研究所，沈阳 110819）

近年来，越来越多的制造企业商务模式由卖产品转变为卖服务，其中关键设备制造业服务化趋势尤为显著，如航空发动机、高档机床、高端服务器等[1-2]。售后服务逐渐成为关键设备制造行业极其重要的利润增长来源，例如GE航空在2009年获得850亿美元收益，其中75%的收益来源于飞机发动机售后的备件和维修服务，比2007年度的65%显著增加[3]，售后服务市场往往是产品销售市场的4～5倍，甚至更高[4]。关键设备供应商获得高额利润的同时，也日益加重运营商购买这些服务的成本。因技术复杂性、维修难度和专业性等因素往往导致关键设备的整个生命周期，从产品设计到售后维修服务阶段，都严重依赖于设备供应商（OEM）或OEM 授权专业服务供应商，这里统称为供应商。在关键设备制造-服务领域中这种特有的高度依赖性和传统基于资源的维修合同（RBC）机制，共同导致运营商与供应商之间的激励冲突，如图1（a）所示。其原因在于[5]：RBC 合同规定运营商基于维修服务所消耗的资源给予供应商补偿；运营商希望关键设备具有高可靠性、减少故障停机和维修时间，而供应商并没有把设备可用度提高到运营商所期望水平的动力，提高可用度不仅意味着增加成本投入，还减少了设备售后维修服务业务量、影响服务收益。基于关键设备制造-服务领域出现的上述新问题，如何设计运营商与供应商之间的服务合同、改善激励机制成为学术和工业界关注的焦点。

图1 RBC合同和PBC合同的激励机制示意图

基于性能的合同（PBC）是关键设备供应商与运营商之间的新型服务合同，由美国国防部于2004年正式提出，并在美军军事装备领域逐步扩大实施，目前成为制造业巨头GE、Rolls-Royce、IBM、Boeing 等公司重点推广的合同选项。PBC 合同规定运营商基于服务性能结果给予供应商补偿，而不是维修服务所消耗的备件、维修劳动等资源，它由固定支付、性能指标和激励等构成[6-7]。根据Guajardo等[5]对Rolls-Royce公司的2002～2007年60余家客户700余台航空发动机维修数据研究证实，相对于RBC 合同时期，自实施PBC 合同以来，发动机大修间隔时间平均增加790 h，正常飞行时间由6 016 h提高到6 575 h，发动机的可靠性能力提高10%～25%，同时总体维修成本也大幅度减少。近几年，PBC合同应用实践表明，相对RBC 合同，PBC合同实现了运营商与供应商之间的激励联盟，如图1（b）所示，增强了对供应商存在道德风险的服务能力的激励，如产品可靠性。目前关于关键设备制造-服务领域的PBC 合同研究集中在如下方面：①PBC合同的内涵、机制、风险等定性分析和应用实证调查[5-8]；②PBC 合同背景下供应商的服务能力集中优化[9-11]；③以委托-代理理论为建模框架的PBC合同设计和激励机制分析。本文与第3类研究密切相关，其研究进展如下：Kim 等[12]最早研究了由固定价格合同、成本共担合同和PBC 合同及组合构成的维修服务合同设计问题，分析了合同类型选择决策对供应商投资服务能力的影响；Kim等[13]着重考虑了关键设备故障稀少且后果严重的风险特征，探讨如何设计PBC合同才能激励供应商投资应急维修能力，重点分析了故障频率、恢复时间及组合对PBC 合同有效性的影响；Jain 等[14]考虑PBC合同导致的供应商资金流风险特征，以双侧道德风险模型为框架，分别研究线性和分级线性两种PBC合同结构下的供应商投资服务能力的规律；谢文明等[15]以有新设备加入和设备报废退出影响下的动态设备队列为服务对象，以设备的维护数量、故障数量和报废数量为性能指标，研究OEM 与第三方维修服务供应商之间的多周期PBC 合同设计问题。上述文献中，PBC 合同设计均限定在单个供应商与运营商之间；从设备生命周期角度均只涉及设备售后阶段，尽管设备制造阶段的可靠性能力投入很大程度上决定了服役期间的可用度，跨越制造与售后两阶段的服务能力联合决策还没有涉及。

运营商的核心生产设备系统往往由多个关键子系统通过串联、并联或混联构成，如热电厂的汽轮机和发电机、飞机的航电系统和发动机等。由于这些子系统的技术复杂性，各个子系统往往由各自的供应商提供客户化的维修服务，故多个供应商与运营商之间就构成了多层级服务供应链。工业实践中供应商通常以最小成本改善自己子系统性能为原则独立进行服务能力决策，显然，多个供应商的服务能力彼此相互影响，共同决定了运营商的生产设备系统的整体性能；而运营商希望获得整个多层级服务供应链最优性能，这就需要运营商精准设计多个服务合同和激励机制。目前只有Kim 等[16]以两个子系统串联构成的关键设备系统为对象，设计5种惩罚机制来分配两个供应商之间的故障责任，以完全信息静态博弈为框架，研究如何激励两个供应商协同投资故障预防和恢复能力。本文研究与上述文献有显著区别：本文侧重运营商与两个供应商之间的合同设计及其激励机制问题，决策PBC合同服务性能激励系数、各子系统在制造阶段的可靠性能力与服役阶段的维修能力；而文献[16]中侧重考虑子系统之间的故障级联问题，仅限于两个供应商之间的竞争性服务能力投资问题，没有涉及RBC 和PBC 合同设计问题。

本文以多层级服务供应链为研究对象，以设备制造阶段的可靠性能力与售后阶段的维修能力作为各个供应商的服务能力决策变量，采用两阶段序贯博弈理论为建模框架，研究基于RBC 和PBC 的多层级服务合同设计模型；以RBC 合同为参照，分析PBC合同对供应商投资服务能力的激励机制，着重探讨PBC合同对多个供应商之间的服务能力投资激励机制。本文考虑多层级服务供应链结构和服务能力跨越两个生命阶段决策这两个新特征，这种PBC合同协同设计问题与激励机制分析目前还没有理论成果见诸于学术期刊。

1 问题描述及决策

考虑由一个运营商与两个供应商构成的多层级服务供应链，运营商以两个子系统串联构成的N套设备为其关键生产系统。每个关键子系统的日常维护和紧急维修服务工作由其原始设备供应商（OEM）独家提供。任何子系统故障均可导致关键设备系统停机，子系统可用度取决于供应商对其可靠性能力和维修服务能力投资大小，以及运行环境随机因素期望ε。从子系统生命周期角度，供应商在制造阶段（第1阶段）投资可靠性能力r≡｛ri｝，在售后服役阶段（第2阶段）投资维修服务能力u≡｛ui｝，这里维修能力是由备件库存、维修中心能力和人员数量等可观测资源构成的综合能力。多个子系统的可用度共同决定关键设备系统可用度A0。

（1）系统可用度。假设子系统故障服从泊松分布，令λi为子系统i的故障到达率，则1/λi为子系统故障到达的间隔时间[13]。到达率λi与运行环境随机因素期望ε以及子系统可靠性能力有关，可以合理假设λi与ε成正比，与自身可靠性能力成反比，记λi=ε/ri；假设子系统发生故障后的维修时间服从参数ui的负指数分布，则1/ui为子系统的平均维修时间[16]。可见，子系统i的故障时间服从参数u i/λi的负指数分布，即期望维修时间为

将关键设备系统运行时段简化为1，忽略多个子系统同时故障的小概率事件，则关键设备系统级可用度为

由式（1）、（2）可见，子系统增加可靠性能力与维修能力能够减小故障的到达率与期望维修时间，从而增加系统级可用度。

运营商要求关键设备系统的系统级可用度不低于下限α，即A0≥α，即系统总期望维修时间应满足如下约束：

（2）服务能力成本。服务能力成本由可靠性能力和维修能力改善成本构成。设供应商i投资于子系统i的可靠性能力成本函数为ψi（ri），满足对任意，对任意有。这种假设是合理的，因为随着系统可靠性的提高，提升单位可靠性能力需要付出更高的成本[17]。

设供应商i增加单位维修能力的成本为c i，则将维修能力提升到ui需要的费用为。考虑到最优维修能力与初始维修能力无关。为计算方便，令=0，记维修能力改善成本为ciu i。因此，供应商投资服务能力的总成本为ψi（ri）+ciu i

（3）服务合同类型及决策。在设备生命周期两个阶段，PBC 合同和RBC 合同的服务能力决策不同，如图2所示。在第1阶段，无论PBC 合同还是RBC合同均由供应商决定其子系统可靠性能力大小。在第2阶段，对于RBC 合同，运营商与各个供应商协商决定维修能力大小并写入合同；对于PBC合同，运营商并不指定或控制供应商的维修能力，而是选择系统故障时间惩罚系数υi，由供应商根据性能惩罚系数υi决定各自的维修能力。根据企业实践和学术文献，设定性能罚金与期望维修时间成正比，记为υi T i（ri，ui）。

图2 服务合同类型及其不同阶段决策

基于上述情境下，需要解决的问题是：在RBC和PBC合同下，多个供应商如何投资各自子系统可靠性和维修服务能力？ 两类合同如何影响各个供应商投资服务能力决策？ 以及内在的激励机制是什么？

2 合同设计模型及服务能力决策

2.1 基准——最优服务能力

（1）最优维修能力。假定运营商独自运营和维修关键设备系统，以集中决策环境下的最优服务能力作为比较基准，以主从博弈为建模框架，采用逆向归纳法为求解策略。首先从第2阶段开始，求解最优维修能力u*≡（u1，u2），在满足式（3）约束条件下最小化第2阶段的维修能力成本，具体模型为：

命题1约束式（3）取等号时，获得子系统i的最优维修能力为

子系统i的期望维修时间为

证明假设最优解不能在约束式（3）取等号时获得，即＜β。因 为∑i T i（ri，ui）是ui的减函数，所以，使得

令L=∑I ciu i+θT i（ri，ui｛｝）-θβ，其中θ为拉格朗日乘子。

所以L是凸的，最优解，又∑i T i（ri，ui）=β，解得：

由式（4）、（5）可见，子系统i最优维修能力与期望维修时间不仅与ri有关，还与rj有关，这种依赖性源于系统级可用度约束式（3）。此外，式（5）给出了维修时间指标下限β的简单分配规则：运营商分配给子系统i的比率为该比率表示子系统i的故障到达率与维修能力单位成本的加权值。考虑到故障率增加导致最优维修能力的增加，可见，维护一个高故障率且高单位维修费用的子系统需要更多能力投资；利用该规则，分配较大比例的β给该子系统，以有效节约服务能力成本。

整理得

命题2①目标函数Ψ（r）是凸的；②可靠性能力最优解存在且唯一，并由下式得出：

证明

Ψ（r）是凸的，最优解存在。

其Hessian矩阵为

所以H是正定的，最优解唯一。 证毕

（3）可靠性能力决策变量敏感性分析。这部分分析子系统的可靠性能力增加如何影响自身及其他子系统的维修能力投资和期望维修时间。通过影子价格θ来解释子系统可靠性能力决策如何相互依赖。根据式（3），用θ（r）重写最优解ui与T i为：

由式（9）可见，子系统i与其他子系统之间的可靠性能力投资依赖性正源于影子价格θ（r），任意ri的增加都会导致θ（r）的减小。对维修能力ui[ri，θ（r）]求ri的导数，得

式（10）中，第1项揭示可靠性能力与维修能力之间的直接关系：可靠性能力越大，维修能力越低；第2项表示子系统i的可靠性能力如何影响整个关键设备系统和自身，例如高可靠性能力投资松弛了系统级维修时间约束，减小了影子价格（∂θ（r）/∂ri＜0），而反过来也减少子系统i的维修能力投资水平（∂ui（ri，θ）/∂θ＞0）。

对期望维修时间Ti｛ri，ui[ri，θ（r）]｝求ri的导数，得

通过图3可以更直观地理解式（11）所揭示的可靠性能力增加对期望维修时间的影响规律。式（11）中，第1项说明，在维修能力不变时增加可靠性能力能够减少期望维修时间，如图3中①～②所示；第2项中的第1部分说明，可靠性能力增加导致维修能力投资减少，而维修能力减小又会导致期望维修时间增加，如图3中②～③所示；第2项中的第2部分表示可靠性能力增加导致影子价格减小，从而使维修能力减小，进而使期望维修时间增加，如图3中虚线箭头③～④所示；式（11）同时也说明，可靠性能力ri增大导致间接期望维修时间增加幅度小于直接导致期望维修时间的减少幅度。原因在于：各个子系统共享影子价格θ（r），因子系统i的可靠性能力增加导致的维修能力减少效用作用于影子价格后，子系统i只能从中分得部分收益，其他子系统则分享剩余部分收益，结果导致间接的期望维修时间增加不能完全抵消直接效应导致的期望维修时间减少值。

图3 子系统i的可靠性能力增加对其维修能力和期望维修时间的影响规律

继续分析子系统i的可靠性能力增加对子系统j的维修能力需求和期望维修时间的影响规律。分别对uj[rj，θ（r）]和Tj｛rj，uj[rj，θ（r）]｝求ri的 导数，得：

可见，子系统i的可靠性能力增加导致影子价格减小，从而使子系统j的维修能力需求减小，进而使子系统j的期望维修时间增大，如图4中的A～B所示。

图4 子系统i的可靠性投资对子系统j 的影响

总之，子系统i的可靠性能力增加效应为：①减少了所有子系统的维修能力需求；②降低自身的期望维修时间、同时增大其他子系统的期望维修时间。

2.2 RBC合同模型及服务能力决策

RBC合同下运营商以合同条件形式规定各个供应商的维修服务能力，在满足系统级期望维修时间指标β时，给予各个供应商补偿，补偿量设为单位维修能力成本的s倍（0≤s≤1）。RBC 合同情景下，第2阶段的维修服务能力可视为运营商观察到两个供应商在第1阶段可靠性能力独立决策后的最优决策。基于此类决策情景特征，采用二阶段序贯博弈为建模框架，以逆向归纳法为求解策略，具体建模过程：

（1）维修能力决策。RBC 合同下，第2阶段运营商的维修能力决策模型类似于模型（IM），不同之处仅在于单位成本系数s，获得：

子系统i的期望维修时间为

同时解得影子价格为

（2）供应商之间可靠性能力均衡解。第1阶段供应商最小化自身的可靠性和维修能力成本，即

整理得：

命题3①Ψi（ri）是凸的；②RBC合同下各个供应商投资可靠性能力的均衡解存在且唯一，即

故Ψi（ri）是凸的，纳什均衡解存在。

其Hessian矩阵为

故H是正定的，纳什均衡解是唯一的。 证毕

（3）供应商之间服务能力投资激励机制。这部分分析一个供应商增加自身的可靠性能力是如何影响其他供应商的决策。对影子价格θRC求导，获得：

可见，任意供应商增加可靠性能力投资都会降低其他供应商的维修能力需求。

综上可见，任意供应商增加可靠性能力都会减少所有供应商的维修能力需求、减少其他供应商的服务能力总成本，这就造成理性供应商都不会全力增加可靠性能力投资，而是期望能从其他供应商的投资中获取额外利益，即供应商之间存在“搭便车”心理。因此，RBC合同机制会导致供应商对服务能力投资不足，特别是可靠性能力。

2.3 PBC合同模型及服务能力决策

在PBC 合同情景下，首先由运营商选择PBC合同性能惩罚系数（υ1，υ2），然后两个供应商决定各自在第2阶段的维修能力（u1，u2）和在第1阶段的可靠性能力（r1，r2）。基于此类决策情景特征，仍采用二阶段序贯博弈为建模框架，以逆向归纳法为求解策略，具体建模过程：

（1）维修能力决策和PBC 合同性能惩罚系数。第2阶段，在观察到运营商的PBC合同最优性能惩罚系数后，两个供应商决定各自的维修能力（u1，u2），使得由维修能力成本和性能惩罚构成的总成本最小化，即

在第2阶段，运营商的目标是在满足性能约束下，使得维修服务补偿和性能损失罚金之差最小化，选择最优的罚金系数（υ1，υ2），即

命题4在PBC合同下，运营商选择对各供应商的最优性能惩罚系数为

此时各供应商的最优维修能力和相应子系统期望维修时间为：

说明L是拟凸的，即此处取最小值。

将υi（r）代入式（20），解得：

（2）供应商之间可靠性能力均衡解。在第1阶段，两个供应商的可靠性能力决策过程为同时行动博弈。基于第2阶段的最优惩罚系数和维修能力，通过最小化各自的服务能力成本和性能损失罚金总成本，两个供应商获得可靠性能力均衡解（r1，r2），即

整理得

命题5①Ψi（ri）是凸的；②PBC合同下各个供应商投资可靠性能力的均衡解存在且唯一，即

故Ψi（ri）是凸的，纳什均衡存在。

其Hessian矩阵为

所以H是正定的，纳什均衡是唯一的。 证毕

（3）供应商之间可靠性能力激励机制。为了分析PBC合同下，供应商之间可靠性能力投资激励机制，对式（26）左右两边同时乘以，得

故L是增函数，所以当rj增大时，式（27）右边减小，从而ri减小。可见，供应商i的最优反应函数是递减的，供应商之间的可靠性能力投资具有可代替性。

3 两类合同对可靠性能力投资激励机制

以可靠性能力最优解（rFB）为基准，分析两类合同（RBC和PBC）对供应商投资可靠性能力（rRC，rPC）的激励机制。因为3个可靠性能力的解参数不同，这里重点分析对称结构的关键设备系统，即各子系统供应商的特征参数都相同，如单位维修能力成本及可靠性能力成本函数等。在此基础上进一步扩展到非对称供应商可靠性能力投资规律。

命题6①对于对称系统，供应商的可靠性能力满足rRC＜rFB＜rPC；②对于非对称系统，至少存在一个i，使得，并且至少存在一个j，使得。

证明为了方便比较3种决策环境下的可靠性能力，令分散环境下si→0。对于对称系统，整理式（8）、（18）和式（26）分别有：

所以F（ri）是增函数；又有，故rRC＜rFB＜rPC。

对于非对称系统，整理式（8）、（18）和式（26），FB最优环境、RBC合同环境以及PBC 合同环境分别为：

上述命题说明，相对于最优可靠性能力，RBC合同导致供应商投资可靠性能力不足，而PBC合同导致供应商过度投资各自的可靠性能力。对于对称系统结构时，命题6①完全支持该结论；对于非对称系统结构时，命题6②也为该结论提供部分支持。即在RBC合同下，不可能存在对所有子系统可靠性能力的过度投资；而在PBC 合同下，不可能存在对所有子系统可靠性能力均投资不足情况。

为了进一步了解两类合同如何影响供应商投资可靠性能力，针对维修能力成本不同（ci≠cj）的非对称系统，采用如下32组数据进行仿真：令c1固定为c1=10，令c2从2～18取不同值，获得如图5所示的3种决策环境下供应商的可靠性能力曲线。仿真曲线展现明显规律为：，显然，该仿真实验结果支持了上述结论。

为什么PBC合同能够导致超过最优可靠性能力的过度投资激励？ 从如下两个方面解释：①消除可靠性投资不足根源；②影子价格收敛为最优性能惩罚率。理解这类原因的核心是第2阶段系统级维修时间约束式（3）取等号时获得的影子价格θ（r）。由于

图5 非对称系统供应商投资可靠性能力变动曲线

式（28）说明，因供应商i的可靠性能力投资增加，供应商j的边际维修能力成本节约等于影子价格与供应商i自身的期望维修时间减小值的乘积。即惩罚供应商的自身单位维修时间等效于迫使其消化其他供应商的边际维修能力。RBC 合同下，供应商自身的可靠性能力投资只会减少其他供应商的边际维修费用；而PBC合同下，对供应商自身的维修时间惩罚却会增加其他供应商的边际维修费用。可见，PBC合同机制消除了供应商固有的投资不足激励。

继续分析式（28）中影子价格θ（r），可知影子价格随任意一个供应商的可靠性能力的增加而减少。在集中最优环境和RBC合同下，影子价格是一个隐性的，不会影响供应商的可靠性能力投资决策；PBC合同下，影子价格θ（r）不再是隐性的，它收敛为对子系统维修时间的最优惩罚系数υi（r），即成为显性的费用。这显然对各个供应商可靠性能力投资产生额外激励：一方面，使得子系统的期望维修时间减少；另一方面，减少了单位维修时间的惩罚值；此外，这种激励机制均等作用于所有供应商。上述分析揭示了在PBC 合同下供应商的可靠性能力投资过度的根源。

4 结 论

本文针对由运营商与多个供应商构成的多层级维修服务供应链，以系统级可用度为关键设备维修服务性能指标，以设备制造阶段的可靠性能力与售后阶段的维修能力为服务能力决策变量，研究了集中决策、RBC 合同和PBC 合同商务模式下的供应商服务能力决策问题。在服务供应链的多层级结构新特征环境下，发现RBC 合同和PBC合同对供应商投资可靠性能力产生截然不同的激励效应并揭示其激励机制：RBC 合同导致供应商对可靠性能力投资激励不足，这是因为供应商不能吸纳因改进可靠性能力带来的全部收益；多个供应商之间存在可靠性能力投资“搭便车”行为。PBC合同过度激励供应商对可靠性能力投资，可靠性能力投资甚至大于集中决策下的最优可靠性能力，这是因为PBC 合同将系统级可用度相关的隐式成本转化为供应商的显式惩罚成本，导致可靠性能力投资激励过度。这些新发现证实，制造阶段的可靠性能力是关键设备售后服务合同管理中的重要角色，这一点被以往相关研究所忽视；同时也提示服务供应链的结构复杂性也是设备售后服务合同设计的关键因素。

这些新结论有助于运营商更深入地了解RBC合同和PBC合同的激励机制和无效性根源，根据自身服务供应链结构特点选择和设计适合的服务合同。尽管业界实践PBC 合同已经展现了强大生命力，这些新发现也展现了PBC 合同应用的复杂性，如何设计以PBC 合同为主的组合合同以控制PBC合同对某些服务能力的过度激励还需进一步研究，以推动PBC合同这一新生产-服务管理模式在我国关键设备制造业的推广和应用。