高中数学教学中思维可视化的案例实践

胡同文 张豪

数学学习是学生思维生成、发展的过程。在数学教学中，坚持以学生为主体，教师主导，使用实体模型、图形演示软件、思维类比、程序框图、自适应平台等思维可视化工具，帮助学生抽象概念、提炼模型、深度体验，提升学生的数学素养。

思维可视化的概念

思维是指：在表象、概念的基础上进行分析、综合、判断、推理等认识活动的过程。思维是人类特有的一种精神活动，是从社会实践中产生的。数学是思维的体操，数学学习是思维生成、巩固、和发展的过程，高中数学学习是学生知识和技能趋于系统化的阶段，塑造良好的数学思维能力，使其一生受益。高中数学知识体系庞大，运算量大，思维容量大，思维严谨、系统，学生已有的知识不够，需要对知识贮备、技能和方法的要求进行掌握，从而造成学生学习起来困难重重，丧失学习的信心与动力。

数学教学要联系学生的最近发展区，从已有的知识、技能出发，借助思维工具，将抽象的知识具象化、将生涩难懂的知识情境化、将相同类似的知识方法归类化，教会学生思维可视化的方法，提供给学生思维可视化的工具，将学生带入数学学习的乐境中，巧妙合理地学习新知识。

思维可视化的案例

案例一：基于实际物体模型的思维可视化教学

在三视图教学中，多利用实体模型进行辅助教学。学生对于空间的理解多来源于现实生活，利用教具正方体、长方体、柱体、椎体，可以让学生很直观地观察出表面积、体积，通过正面到侧面再到顶面不同方位的观察，可以增加学生对于三视图的理解，对于线面垂直可以用转动中的门始终与地面垂直，让学生从动态过程中逐步提炼出结论：门轴线始终与地面垂直。同样地，很多時候可以让手指代替直线，让手掌代替平面，从而形成动态的直线与平面间的位置关系。

在空间几何体的表面积教学中，可以使用正方体、长方体、三棱柱、三棱锥的教学模型进行演示教学，让学生观察实际的模型，积累经验，脑海里抽象出空间几何体的表面积计算模型。

案例二：借助于图形演示软件

在正弦型函数的图像教学中，为了帮助学生认识利用A、w、对图像的影响，可以使用几何画板（图形计算器、MATLAB等）进行教学。

首先，构建好函数模型，改变其中的一个变量，观察该变量的变化对于三角函数图像的影响，形成学生的直观印象。

接着，让学生归纳各个变量的影响情况：

1.A是振幅，会影响纵向的拉伸，A值越大纵向越长，A值越小纵向越小，A值与纵向拉伸成正比。

2.W值会影响横向的拉伸，W值越大横向越小，W值越小横向越伸展，W值与横向拉伸成反比。

3.φ值的改变会影响图像的左右平移，结合学生经验容易归纳出左加右减的规律。

最后，先提出预设的图像变化，让学生去设计函数变化情况，逐步让学生脱离软件模型，内化为自己的知识。

案例三：利用多米诺骨牌游戏类比数学归纳法的教学

数学归纳法教学中需要重点强调：一是首项n=n0时，必须成立；二是假设n=k时成立，推导出n=k+1时也成立；从而得出结论都成立。

在数学归纳法的教学过程中，先播放一段多米诺骨牌的视频，学生很容易进入情境中，然后对学生提问：

1.大家发现这里面的什么有趣之处？答：前一个倒下后，后一个接着倒下去，从而引起连锁反应，不断地倒下去，从而全部都倒下去了。

2.如果从第二项开始推倒，那么所有的骨牌会倒下去吗？答：不会，第一个不会倒下去；如果从某一个开始推倒呢？答：也不会，因为前面的不会倒下去。

3.如果从第一个开始推倒，但其中有两个骨牌隔开，那所有的骨牌也不会推倒。

4.如果前几个骨牌倒下去，能不能令所有的多米诺骨牌倒下去？也不行，因为要所有的都倒下去。

当同学们还沉浸在多米诺骨牌的氛围中，马上切入类比数学归纳法：其实数学归纳法类似于多米诺骨牌的游戏，关键也在于引起连锁反应，假设n=k时成立推导出n=k+1也成立，就相当于多米诺骨牌的相邻两块，前面一块倒下去可以导致后面一块也倒下去，这样就能引起连锁反应，并且是对任意连续两项都可以，前提条件是第一项必须成立。

案例四：程序框图软件实现程序可视化

在程序框图的教学中，学生认知的一个误区就是程序要运行结束以后才会有结果，其实不然，一个程序设计好以后，程序运行的结果已经确定。借助程序框图软件可以轻松实现程序过程的间断，使学生观察到程序运行中变量的变化情况，例如：

的程序设计中，使用Qbasic编程：

在程序运行的过程当中可以很容易地进行程序的调试，通过对更改变量S起始值、I的终值引起S的最终变化；先运行值的交换程序发现不能交换a、b的值，再通过引入c的值实现a、b值的交换。让学生通过对结果变化的观察，倒回去思考流程中的变化情况，从而得出电脑的运行方式是很单一的，即严格地按照步骤执行程序语言，也就要求学生特别注意程序语言的格式规范，通过编写程序，体验电脑运算的便捷，学会程序性思维方式。

案例五：借助自适应平台复习，构建知识框架图

数学的知识是体系化的，既有基本的知识点、概念的教学，又有方法类型的概括，通过思维导图构建知识框架图，让学生的知识形成体系，形成版块性的知识点。借助每周在自适应平台的练习，可以生成全班的学习记录，错误的题自动加入错题库，定期进行清理，对每位同学的学习情况进行诊断，对于已经学习好的知识点略讲，未学透的知识点着重讲。帮助教师掌握班级学习情况，制定适合的教学方案。通过思维导图建立知识体系，自适应平台测评学习情况，使得教师和学生的学习针对性更强，学习效率得到提升。

思维可视化教学的原则

注重主体型思维，重视学生的主体性

主体型思维是以思维主题为标准，对思维进行因素分析的分类而得到的因素类思维。注重学生的主体型思维，任何教学方式都要以学生为中心，以学生的思维为起点，以学生的活动为载体，以学生思维的发展为目的。

选择思维工具教学时，要基于学生已有的知识体系、技能方法、思维层次，找到适合学生学习的方式类型。学生作为教学活动的主体，参与课堂的程度直接决定课堂的成效。

注重上升性思维，强化教师的引导力

教师要采取恰当的教学手段和措施，从引导，到半扶持，再到放手，让学生逐步从“学会”到 “会学”，真正成为数学学习的主人。教师对于整个章节的把握，直接影响到课程内容设计、内容选择、课程实施，师生的思维的交互，提供在学生需要的时候。教师的个人风格、自身的综合素养也会对学生的学习造成影响，正所谓“亲其师，信其道”。

注重探究式思维，强化课程内容体验

注重探究式教学，强调深度学习。帮助学生理顺思路，根据马斯洛的多元认知理论，图像的知识覆盖比直接讲解要多，可以适当地加入图片，函数图像，实体模型等，符合学生的学习和认知习惯，利用思维可视化工具可以帮助学生很容易地获得直观经验，但是在教学活动中，学生学习的获得在于思维活动的深度体验。既要有纵向知识点间的传承，体会数学知识点的发生与发展；又要有横向知识版块间的类比，发现知识版块的共同之处，体会数学的方法论、数学化；更要对单个知识点进行深挖，探究内涵，体验数学的严谨与魅力。

板书是思维可视化的最根本途径

一支粉笔最能展示数学的思维。一名数学教师可以不用电脑、PPT等辅助教学工具，但是却不能少了教学演示，教学过程当中最不可或缺的是教师的板书演示，好的板书能带给学生好的演示，规范学生解答过程的同时，有效引导学生的思维过程。板书演示是数学教学过程中运用最多的方式，也是数学思维体现最多的过程，教师对数学问题的思考就蕴藏在数学解题过程中，教师认真板书，并配合适当的讲解能有效展现数学问题的思维过程。学生的解题过程反映了学生对知识点的掌握情况，暴露出思维过程中有问题的地方，让学生上台板书可以有效了解学生的思维过程和学习的具体情况。PPT能提高课堂的有效性，但有时数学解题过程的呈现太直接，导致学生思维发生跳跃，无法跟上学习的节奏。

结语

数学是思維的学科，数学的学习是思维生成和发展的过程，借助数学工具进行思维可视化的教学，可以帮助学生迅速融入数学的知识版块体系中，融入数学思维的基本活动体验当中，激发学生数学学习的兴趣，促进学生思维更快更深地发展，提升学生的数学素养。