一道2017年初赛椭圆试题的探究与思考*

北京市第十二中学高中部(100071) 刘 刚

1、试题

题目(2017年全国高中数学联赛新疆初赛)已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的上下两个端点分别为A,B.以A为圆心,椭圆长半轴长为半径的圆与椭圆交于C,D两点,CD的中点的纵坐标为.

(I)求椭圆的方程;

(II)直线l过椭圆的右焦点F且不垂直于x轴,l与椭圆交于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为N′,问直线MN′是否经过定点?若经过定点,求出这个定点;否则,说明理由.

试题考查了椭圆的标准方程、几何性质以及坐标法的应用,考查了学生运算求解以及分析问题与解决问题的能力.试题(II)问解法灵活,内涵丰富,是一道具有研究性学习价值的好题.

2、解法探究

解得c=1,所以,所以椭圆的方程为.

(II)思路1以M,N为研究对象,先设出它们的坐标以及直线l的方程,然后结合已知条件表示出直线MN′的方程,令y=0,接下来通过消元并借助韦达定理进行求解.

解法1设M(x1,y1),N(x2,y2),则N′(x2,-y2).因为F(1,0),所以设l的方程为x=ty+1,与椭圆的方程联立,得(3t2+4)y2+6ty-9=0,所以

直线MN′的方程为,令y=0,得

将①代入上式,得x=4,所以直线MN′经过定点(4,0).

思路2以M,N′为研究对象,先设出它们的坐标以及直线MN′的方程,然后与椭圆方程进行联立,利用M,F,N三点共线得到坐标之间的关系,接下来通过消元并借助韦达定理进行求解.

解法2设M(x1,y1),N′(x2,y2),则N(x2,-y2).设直线MN′的方程为x=ty+m,与椭圆的方程联立,得,

因为M,F,N三点共线,所以,即,所以

将②代入上式,得

解得m=4,所以直线MN′经过定点(4,0).

思路3由于椭圆经过坐标伸缩变换可以变为圆,而圆有着很多几何性质,因此借助圆利用平面几何知识进行解决,可以避免繁琐的代数运算,使解题过程得到简化.

解法3在伸缩变换下,椭圆变成了单位圆分别为O′,M′,N′,N′′,F′,则.

图1

如图1,连接O′M′,O′N′,O′N′′,F′N′′, 设直线M′N′′与x′轴交于点P,因为弦N′N′′⊥x′轴,所以x′轴是N′N′′的中垂线,所以∠O′N′F′=∠O′N′′F′.

因为O′N′=O′M′,所以∠O′N′F′=∠O′M′F′,即∠O′N′′F′=∠O′M′F′, 故O′,F′,M′,N′′四点共圆,所以∠O′F′N′′=∠O′M′N′′. 因为O′M′=O′N′′,所以∠O′M′N′′=∠O′N′′M′,即∠O′F′N′′=∠O′N′′M′,所以△O′F′N′′～△O′N′′P,即,故|O′F′|·|O′P|=|O′N′′|2=1. 因为,所以|O′P|=2,即直线M′N′′与x′轴交于定点 (2,0),故直线MN′经过定点(4,0).

3、思考

把本题一般化,得到

结论已知椭圆,与x轴不垂直的直线l过定点(c,0)(其中),且与椭圆交于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为N′,则直线MN′经过定点.

在研究命题时,我们通常还要关注它的逆命题,那么这个结论的逆命题成立吗?对于这个问题,笔者进行了探究,发现结论是正确的.

逆命题已知椭圆,与x轴不垂直的直线l交椭圆于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为N′,且直线MN′经过定点,则直线l过定点(c,0).

证明设,则N(x2,-y2).设直线MN′的方程为与椭圆的方程联立,得,所以

直线MN的方程为,令y=0,得

将③代入上式,得x=c,所以直线MN经过定点(c,0).

由此,得到了下面的命题.

命题1已知椭圆,与x轴不垂直的直线l交椭圆于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为N′,则直线l过定点(c,0)(其中)的充要条件是直线MN′经过定点.

由焦点进一步联想类焦点,可得命题2.

命题2已知椭圆,与x轴不垂直的直线l交椭圆于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为N′,则直线l过定点(m,0)(其中)的充要条件是直线MN′经过定点.

证明(必要性)设,则N′(x2,-y2).设l的方程为x=ty+m,与椭圆的方程联立,得

所以

直线MN′的方程为,令y=0,得

(充分性)设M(x1,y1),N′(x2,y2),则N(x2,-y2).设直线MN′的方程为,与椭圆的方程联立,得

所以

直线MN的方程为,令y=0,得

将⑤代入,得x=m,所以直线l经过定点(m,0).

由椭圆类比双曲线、抛物线,可得另外两个命题.

命题3已知双曲线,与x轴不垂直的直线l交双曲线于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为N′,则直线l过定点(m,0)(其中)的充要条件是直线MN′经过定点.

命题4已知抛物线y2=2px(p＞0),与x轴不垂直的直线l交抛物线于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为N′,则直线l过定点(m,0)(其中)的充要条件是直线MN′经过定点(-m,0).

以上通过一道初赛试题探究了圆锥曲线一类定点性质,在解题过程中,要透过现象看本质,挖掘题目内涵,尝试从不同角度探究与拓展,总结规律,从而提高学习效率.