新工科背景下的偏微分方程教学改革的新思考

金玲玉，王霞

偏微分方程或称数学物理方程这门课程是大学数学应用数学专业的专业课程，同时也是大学工科的必选课程之一。偏微分方程的主要学习内容是物理、生物、化学、经济等众多领域的实际模型。偏微分方程教学一直存在着课程内容抽象、复杂，学生难以理解、学生学习积极性不高等困难。如何提高学生的学习积极性、增强学生对教育内容的掌握和运用一直以来是偏微分方程教学改革和研究重中之重。2017年2月，教育部积极推进新工科建设，促成一系类列的方案及文件“复旦共识”“天大行动”和“北京指南”，《关于开展新工科研究与实践的通知》、《关于推进新工科研究与实践项目的通知》等，全力探索形成领跑全球工程教育的中国模式、中国经验，助力高等教育强国建设[1]。偏微分方程作为衔接数学理论和实际背景的一门重要的学科之一，在新工科背景下如何进行偏微分方程教学改革，将偏微分方程教学注入新的政策指导、新的思想、新活力尤为重要。

一 循序渐进，由基础课程引入，进行启发性教学

偏微分课程是专业课程，教学内容相对难且难以理解。在教学中需要深入浅出，进行启发性教学，将理论讲解透彻。从已学的基础课程出发，通过实际模型加深学生对知识的进一步的理解。

案例1：学习偏微分方程的变分法极大极小点的定义及求解[2]。

这实质是一个极值点推广的问题。将函数求极值推广到泛函求极值的问题。可以从一元函数极值理论引入。根据费马定理[3]：如果 ()fx在 0x处取得极值， ()fx在 0( )Ux 有定义，且在 0x处可导，则有00( )fx′ = .这是定义域在一个开区间上的极值问题。如果将此问题推广到定义域为山坡面可以解释我们的极大极小点问题。即求翻过山坡的最短路径呢？这个问题但从数学上看，通过我们现有的知识很难解决，但是可以从生活中得到启发，比如骑马问题，翻过马背问题。把马看做一个山坡。你骑马时候自然会骑到马鞍的那个凹点。翻过马背显然沿着这个凹点翻出路径最短。这样上述问题转化为沿着哪条路径走，山坡的顶点最低的问题。这里定义翻过山坡的路径的集合为X={x(t) |x(t )表示所有翻过山坡的路径函数}。定义函数f(x(t ) )表示每个地方对应的高度。所求问题转化求f(x(t ))问题。这就是偏微分方程求解中著名的山路引理。求解路径的这个问题依然可用费马定理的结论， ()xt看做自变量，依然可通过费马引理得出翻过山坡的最短路径。只是求导的对象变成了泛函。该案例说明在偏微分方程教学过程中，对于复杂的、抽象的难以理解的概念和定理，通过已学的知识出发、简单形象的模型入手，教学过程更加生动。

二 开设研究性教学，培养学生创新意识

提高学生自主学习能力。在新工科背景下，创新精神的培养，科研能力的培养其实是一个尤其重要的问题。只有培养具有创新精神和能力的学生，才能为国家培养优秀的接班人，更好地做到高校教育助力强国。实 际上自2005年教育部发布的《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》中提出“积极推动研究性教学，提高大学生的创新能力”[4]。在教学中注重研究型教学称为各个大学教学改革的重要措施之一。研究性教学是指学生基于自身兴趣，在教师指导下从自然现象社会现象及生活中选取确定研究专题，并在研究过程中主动地收集资料，获取信息，研讨分析，解决问题的学习活动。其目标是使学生获得亲身参与研究探索的体验，学会分享与合作，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生收集、分析和利用信息的能力，培养科学研究的兴趣、态度和社会使命感。它是一种基于项目的学习类型，强调尊重不同的观点和交流协作。比如学校举办的大学生创新创业训练、红满堂计划等属于这类研究性学习。在课程教学过程中，我们可以就不同的专业，不同的学科采用“专题研究+合作学习”的模式开展了研究性学习。通过“专题研究+合作学习”的学习模式，学生在课题研究过程中主动地获取与应用知识和技能，多方面思考、研究并解决问题，使其基础知识和专业知识得到强化与巩固，真正激发了学生的创新精神、探索精神，学生的实践能力和使其终身受用的自主学习能力也会得到不断提高。

案例2 讨论抛物方程解的形式[5]。1. 教师集中介绍一维抛物方程的解的性质。2. 分组探讨具有特殊性质的解的具体形式（合作学习）。3. 集中证明所讨论的解的确是方程的古典解。4. 课后拓展思考，如何将三维的抛物方程的求解问题转化为一维抛物方程求解，并形成报告（自主学习）。5. 运用所学的方法探讨分数阶抛物方程的解的性质和形式（专题研究）。集中学习→分组讨论思考→集中探讨→拓展思考→专题研究，这种方式可以锻炼学生的初步的科研能力，提高创新的思维，将被动学习转化为主动学习[6]。

三 在教学过程中引入竞赛的相关实例，并鼓励学生参加各类数学竞赛的方法促进学生偏微分方程学习，教学和竞赛互相促进

大学生学科竞赛是高校教学科研活动的重要组成部分，是培养学生综合素质和创新精神的有效手段和重要载体。通过多种形式大力开展数学建模教学与研究活动，以竞赛推动教学研究，以教学研究提高竞赛质量。把竞赛与数学教学改革有机结合起来，要把参加竞赛所形成的经验带到课堂，促进教学内容与教学方法的改革，同时，偏微分方程丰富的应用背景在各类竞赛中应用广泛。在提高课堂教学质量的基础上，可以大面积提高高校学科竞赛水平。

案例3. 2018年大学生数学建模竞赛A题就是一个偏微分方程的扩散模型。在学习抛物方程的边值问题时候通过实例作为模型讲解。在教学过程中引入各类竞赛实例进一步加深学生学习的积极性。同时课程的所学的知识和能力又可以进一步加强学科竞赛水平。

四 结束语

在偏微分方程的教学过程中，将已学的本科基础课程知识与偏微分方程难以理解的知识点联系起来，从已有的知识出发，启发学生进行新的思考，进一步学生对偏微分方程的理解。开设研究性教学，能发挥学生偏微分方程学习的主观能动性，化被动学习为主动学习，同时培养学生的创新精神和科研能力。教学过程与学生竞赛结合起来教学，可以促进理论联系实践。竞赛中的偏微分方程模型案例都是处理实际问题的案例，这为偏微分方程的理论教学提供实际支持，可以更好地做到以赛促学，以学促赛的良性循环。在教学改革实践中，从学生和教师的反馈发现，以上教学改革效果良好，学生对偏微分方程理论的理解度加深，能够举一反三，抽丝剥茧，学习的主动性增强，同时学生参加大学省创新竞赛和数学建模竞赛等各类竞赛运用微分方程求解模型方面解决问题能力显著增强。