浅析数学思想在高中解题中的应用

张源龙

摘 要：数学思想是数学知识和方法的本质认识，高中试题十分重视对数学思想及其方法的考查。因此，在高中数学的解题中重视数学思想方法的挖掘和运用是十分必要的。本文讨论了数形结合、分类谈论、函数与方程、转化与化归思想等思想方法在高中数学解题中的应用。

关键词：函数方程 数形结合 分类讨论 等价转化

1.函数与方程的思想

函数与方程的思想是数学研究中最基本的思想之一，分为函数思想和方程思想，二者之间相互联系，共同为解答高中的数学内容提供思路，像求解函数最值，不等式方程以及参数讨论的问题都会用到函数与方程的思想。函数思想在高中数学中的应用主要是利用基本的初等函数的性质（函数的对称性，奇偶性，周期性和相关的函数图像等）来求解问题，某个函数所展现的便是自变量与因变量的变动过程，给定一个，便有与之对应的函数值，因此其核心思想便是运动，运用此观念来建立函数关系，使抽象的问题变得更为直观、形象，从而为解决问题提供崭新的思路；与之不同的是，方程思想主要考虑等量之间的关系，通过求解方程和方程组的解来解决问题。函数与方程在一定条件下可以相互转化，对于某个函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看作方程。

例1.1，设不等式对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围。

解析：按照常规解法，容易将题目化简为，然后再根据二次函数的性质分类讨论，这样的运算是很复杂的。我们换一个角度来思考这个问题，把看作变量，看为常数，记，原命题就转化为求函数关于的函数在区间内满足时参数应该满足的条件。

2.数形结合的思想

数学是研究空间形式和数量关系的学科，空间形式便是我们常说的“形”，用在高中数学上面多是指函数的图像；而数量关系便是和“数”有关的所有抽象内容，数形结合思想本质便是将难理解的抽象语言用图形的方式描绘出来，能够更加直观的展示所求解问题的性质，将数转化为形，通过“数”更好地解释形，数形结合，即可以加深对知识点的掌握，又可以开拓思维。也可把某个不规则或者复杂的图形用“数”的方式描述出来，像某些分段函数或者多个函数结合在一起的图形，直接分析可能会比较麻烦，用基本的数学语言分段描述图形的每一部分有助于我们得分析与理解。数形结合思想常被用来求解以下类型的数学问题。

（1）求解集合问题。可以利用数轴图像处理一些集合中的参数取值范围问题，例如：已知若，求实数的取值范围。利用数轴图像，可得出参数的取值范围需要满足：，求解即可打出答案。

（2）求解函数问题。可结合具体的函数图像，求解常见的二次函数区间求值问题，函数零值以及讨论参数取值范围等问题。例如，求函数零点的个数，即可转化为求解函数和在定义域内的交点个数。

3.分类讨论的思想

分类讨论思想即是讲一个不好求解的比较复杂的数学问题，按照给定的基础条件进行分类，进而分解为几个基础性问题，进而求解原问题。分类讨论思想最主要的是分类，通过比较问题的相同点和不同点，找到适合分类的基点所在，根据具体的取值范围或者函数图像进行分类。在分类讨论时，必须要掌握分类的基本方法：不重不漏、逐条逐类。高中里边，常见的数学分类问题有：（1）数学概念、性质和法则引起的分类讨论：如绝对值和不等式的定义、集合的概念、数列的概念等。例如：集合，就要讨论集合和两种不同的情况；的取值就要分为三种来求解；等比数列的前项和公式，分为两种情况。（2）函數图像位置的不确定性回忆起讨论：如二次函数，值的不确定需要根据函数的开口方向，对称轴的不确定性可能会引起函数位置的不同，可能在轴左边，也可能在右边。（3）含有参数的分类讨论：参数的取值不同可能会导致不同的结果。如，解不等式时，必须分为三种情况讨论。

4.等价转化的思想

等价转化即是把高中数学题目中很难着手的问题转化为我们耳熟能详的已知问题的过程，把未知的转化为已知，化简为繁，转化的过程中一定要注意等价关系，必须把转化的因果关系记清楚。等价转化的常见方法有（1）普通语言向数学语言的转化，例如，求一个西瓜切九刀，最多可切成多少块。单凭想象的话，易知切一刀最多两块，两刀四块，三刀八块，再往后可能会因为图形的复杂而计算错误，通过等价转化的方法，将原题转化为平面分割空间，进而转化为直线分割平面，点分割直线的问题，再找到其中的不同，便可求解原题。（2）原命题与逆否命题的转化，求解原命题比较困难的时候转化为求解其逆否命题。例，求证若，则。直接求解显然不太容易，可转化为求解若，则，逆否命题很容易得出为真命题，则原命题也为真。

结 论

数学思想方位是前人通过不断地实践积累出来的宝贵财富，数学问题的求解就是不断地发现问题，解决问题的过程，灵活地运用各种思想有助于我们便捷准确的得出答案。