小学数学“图形与几何”中的合情推理

曹健

[摘 要]在数学中，演绎推理有助于证明，而合情推理有助于发现。小学数学教学不仅要培养学生的演绎推理能力，也要培养学生的合情推理能力。以“图形与几何”为载体，找准“图形与几何”与合情推理的契合点，从而培养学生的数学发现力、建构力和创造力，提升学生数学核心素养。

[关键词]图形与几何;合情推理;类比性;归纳性;联想性

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）02-0045-02

“图形与几何”是小学数学教学中的重要内容，包括图形的认识、图形的测量、图形的计算、图形的变换等内容。根据学生的年龄和心理特征，在小学阶段的“图形与几何”教学中，教师要注重引导学生进行合情推理，将“发现”“创造”作为“图形与几何”学习的核心，激发学生在学习中利用经验和直觉进行合理猜想、推断，借助类比、归纳等方式展开合情推理教学，以此培育学生的数学发现力、建构力和创造力。

一、运用类比性猜想，促进合情推理

合情推理包括类比推理和不完全类比推理。类比推理是从特殊到特殊的推理，是一种由此及彼的推理。在数学教学中，教师要引导学生观察数学对象、条件和问题的相似性，进而形成对问题性质、解决方法等的类比性推理能力。类比推理具有启发思维、提供线索、触类旁通的作用，有助于发展学生的创造性思维。

如教学“圆柱的体积”（苏教版六年级数学下册）时，教师就可以运用类比推理的方式，引导学生主动猜想、验证，进而自主建构数学知识。笔者在教学中，首先带领学生复习长方体和正方体体积的相关内容，以激活他们头脑中已有的经验;然后出示长方体、正方体和圆柱，引导学生观察，形成类比性猜想——“圆柱体积计算也可以用底面积乘高”。学生提出各种猜想理由，如“长方体、正方体和圆柱都是直的。”“长方体、正方体和圆柱都可以看成是由无数个长方形、正方形和圆形叠加而成。”“长方体、正方体和圆柱都是直直地向上生长的。”……童言稚语，体现了学生的数学思想。笔者在此基础上，引导学生进行验证。首先，同样借助圆柱的“前情知识”进行类比性猜想：圆的面积公式的推导是将圆无限“分割”后转化成长方形，那么圆柱的体积公式的推导是否可以将圆柱无限“切割”后转化成长方体呢？在此基础上，引导学生展开学具操作，将圆柱转化成近似长方体。最后，借助多媒体，展示圆柱转化成长方体的“化曲为直”的生动过程，让学生感受到数学中的极限思想。在交流中，学生能自觉比较长方体底面积与圆柱底面积、长方体高与圆柱高、长方体体积与圆柱体积的异同，完成了数学知识的演绎、转化。

著名数学教育家波利亚说：“数学不仅要教证明，更要教推理、教猜想。”回顾圆柱体积的类比推理过程，我们会发现，学生的数学学习不是“灌输”和“填鸭”式的“教给”，而是在教师引导下的积极的合情推理过程。这样的过程，让学生尝到发现的快乐、想象的恣意、探究的愉悦。在“图形与几何”教学中，正是因为创设了类比性猜想情境，激活了学生沉睡的记忆，唤醒了学生休眠的经验，才让学生形成一种类似的情境体验，轻车熟路地进行合情推理，满心欢喜地感受着猜想、探究、验证带来的数学学习之乐。

二、运用归纳性猜想，促进合情推理

所谓“归纳推理”，是从特殊到一般的推理。归纳推理主要包括完全归纳推理和不完全归纳推理两种形式。所谓“不完全归纳推理”，是指从部分对象所具有的属性推断全部对象应当具有这种属性的推理。正是由于“不完全归纳推理”的不完全性，使得推理具有合情性，同时也具有或然性。小学阶段的“图形与几何”，就其属性来说，主要是直观几何。作为教师，要引导学生充分观察、思考，尽可能多而广地考察事物或对象，做到“厚积而薄发”。当学生积淀的经验丰厚了，自然能生发出灵感、灵性，这种灵感、灵性能助推学生合情推理。

如教学“多边形的内角和”（苏教版教材四年级下册）时，当学生通过探究形成“四边形的内角和是2×180°，五边形的内角和是3×180°，六边形的内角和是4×180°”的认知之后，教师让学生思考“几个180°与几边形之间的关系”，引导学生总结出“n边形的内角和为（n-2）×180°”，这是一种不完全归纳推理。基于不完全归纳推理的“不完全性”，教师必须引导学生超越数学直觉，进行深度思考：为什么多边形的内角和与多边形的边数之间存在这样的关系？进而，将学生从数學观察引向数学思考，从规律的简单小结转向规律的深度探寻。结合四边形、五边形、六边形等图形的内角和公式的证明，学生能够发现：四边形的一条对角线，就能将四边形分成两个三角形（两个三角形有六条边，重合一条边，变成五条边）;五边形可分成三个三角形（三个三角形有九条边，重合两条边，变成七条边）……以此类推，n边形可以分成（n-2）个三角形（（n-2）个三角形有3（n-2）条边，重合n-3条，变成2n-3条边）。如此，不完全归纳推理与演绎推理相互融合、相得益彰。

在“图形与几何”教学过程中，针对不完全归纳推理的“不完全性”，教师还可以引导学生用其他方式进行佐证，包括实验、演绎等方式，让学生对数学知识有更为完整、深刻的认知。

三、运用联想性猜想，促进合情推理

在“图形与几何”教学中，教师还可以运用联想性猜想，促进学生合情推理。与类比推理从特殊到特殊、归纳推理从特殊到一般不同，联想性猜想的“触角”是多向的，可以由特殊到特殊，可以由特殊到一般，也可以由一般到一般。这是学生的 “熟悉”与“陌生”之间彼此沟通联系的过程，是学生思考问题、解决问题常用的策略与手段。让学生在“图形与几何”学习中找准知识的生长点、生发点和生成点，主动联想、大胆猜想，从而发展和提升学生数学学习能力。

如教学“三角形面积公式”（苏教版教材五年级下册）时，教师可以和学生先一起回顾、复习“平行四边形面积公式”的推导过程，让学生从平行四边形面积公式的推导中获得联想。尽管“三角形面积公式”的推导方式和“平行四边形面积公式”的推导方式不完全相同，但学生可以从平行四边形面积公式的推导过程中获得启迪。如“平行四边形面积公式的推导是将未知图形的面积转化成已知图形的面积”，可以启发学生思考：“是否可以将三角形面积转化成平行四边形或者长方形的面积？”又如“平行四边形是通过剪、移、拼转化成长方形的”，可以启发学生思考：“三角形的面积推导是否也可以运用剪、拼、移的策略？”而“平行四边形转化成长方形之后，要将平行四边形的底、高与长方形的长、宽进行比较”，可以启发学生思考：“三角形的底、高相当于平行四边形的什么，相当于长方形的什么？”联想性猜想，是培育学生良好思维品质的重要方法，是学生思考问题、解决问题的重要手段与策略。

当然，联想不是任意拼凑的胡思乱想，而是一种科学的思维和想象活动。合理有据的联想，有助于打开学生问题解决的思路，提高学生数学学习能力。作为教师，我们要根据“图形与几何”的特点，找准知识生长点，诱导学生大胆联想，引导学生合理联想。

总之，“图形与几何”的猜想学习，有助于培养学生的合情推理能力。教师要找准“图形与几何”内容与培育学生合情推理的契合点，发掘合理因素，引导学生猜想、推理，并让学生基于猜想进行验证，让他们在大胆猜测、合理联想中，融会贯通，举一反三，真心享受到由合情推理带来的成功体验。

（责编 罗 艳）