“一题一课”：有效落实“数学深度学习”的教学智慧——以一道不等式题展开的高三二轮复习课为例

江苏省常熟市外国语学校 刘 虹

一、复习中的困惑

对于高三数学复习教学，很多教师都颇感困惑，特别是到了二轮复习，不断地“炒冷饭”，普遍的做法是依据高考内容中的重点、难点，进行同类试题的堆积，然后集中讲解，以期能够提升这类试题的得分率，但学生的参与率较低，学习兴趣不浓，课堂效益不高，总之，教师教的痛苦，学生学的茫然。这样的二轮复习还是在“穿新鞋走老路”，只是对已有知识的再回顾，不能达成学生对数学本质的深度理解，不能促进学生对知识系统的再建构和再完善。

二、“一题一课”的内涵

一轮复习后高中数学知识零散地储存在学生的脑海里，这为我们建立知识间的丰富联系、整合知识体系、提高学生深度学习能力提供了有利的条件。近年来我们在二轮复习中积极探索基于“数学深度学习”的“一题一课”的教学设计，取得了较好的效果。“一题一课”是指一节课的教学设计中，通过对一道典型例题的知识背景、信息转化、切入角度、变式拓展、细节突破、思想方法等多方位的认识和分析，将问题研究得更透、更深入；帮助学生巩固基础知识、熟练基本方法、理解数学本质，构建丰富联系的知识系统和完善的认知结构，提高学生分析问题和解决问题的能力，从而提高学生核心素养，促进学生深度学习。

三、案例实践

在高考数学试题中，常常出现含参数的不等式问题，这类问题与函数，导数等知识综合在一起，特别是含参的不等式恒成立和能成立问题，思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措。为此笔者特意精心挑选了这样一个题展开深入研究。

（1）求θ的值；

（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；

00g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围。

展示题目后，就让学生思考第（1）小题。

很快学生1提出：从题目信息抓住函数g（x）在[1，+∞）上为增函数，转化为不等式g'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，即xsinθ≥1在[1，+∞）恒成立。

学生2提出构造函数，利用函数的最小值可以求解。便令s（x）=xsinθ,x∈[1，+∞），直接考虑单调递增的一次函数s（x）=xsinθ在x∈[1，+∞）的最小值即可解决问题。∵θ∈（0，π），∴ sinθ＞0,∴ sinθ=1，而

教师：对于含参不等式恒成立问题，你有什么体会或总结？

学生4得到结论：若不等式f（x）＞A在区间D上恒成立，则f（x）min＞ A；若不等式f（x）＜A在区间D上恒成立，则f（x）max＜ A。

学生5指出：可以直接构造函数或通过变量分离再构造函数来进行解决，利用函数的最大、最小值或上、下限来决定参数的范围。

这时学生的思维很活跃了，第（2）小题的研究就变得很顺理成章。

学生6提出：这个小题也可以转化为不等式恒成立问题。

教师：与第（1）小题有什么区别？

学生7提出：要分单调递增和单调递减两类进行讨论，再转化为不等式的恒成立问题。

教师：直接构造函数还是变量分离？

学生通过观察不等式的结构和变量范围，得出变量分离更为简单，于是很快有了结论：不等式在x∈[1，+∞）恒成立，或不等式在x∈[1，+∞）恒成立。令+∞）,可得，故m≥1或m≤0。

这时学生的思维更加活跃，开始讨论研究第（3）小题。

教师：如何解读“若在[1，e]上至少存在一个x0，使得

当x=1时，不存在这样的m；

教师：问题解决了，你有什么收获？

学生9：若在区间D上存在实数x使不等式f（x）＞A成立，即f（x）＞A在区间D上能成立，则f（x）min＞ A；若在区间D上存在实数x使不等式f（x）＜A成立，即f（x）＜A在区间D上能成立，则f（x）max＜ A。

学生10：求函数最值时可考虑用求导来研究函数的性质。

学生11：解题时要仔细观察，从局部到整体分析函数式的结构，结合x的范围研究导函数的正负。

学生12：不等式能成立问题依然可以采用变量分离来解决。

教师：非常好！我们类比不等式恒成立问题考虑直接构造函数来解决。

学生13：由于不等式左边f（x）-g（x）与右边h（x）都含变量x，两边的值都在变化，考虑采取移项把一边变为0来处理，这样可使问题变得相对简洁，便于解决问题。即构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），那么就变为[1，e]上至少存在一个x0，使F（x0）＞0成立即可，故只需研究F（x）的最大值。令F（x）=f（x）-g（x）-h（x）

教师：这个函数的最大值怎么研究呢？

教师：导函数的正负决定原函数的单调性，请大家结合x的范围观察何时能够确定导函数的值为正？

学生 14：∵ x∈ [1，e]，∴ 2e-2x≥ 0，mx2+m＞0,∴ F'（x）＞0。

教师：非常好！那我们就可以对m的正负讨论来解决问题。那当m≤0怎么突破呢？

学生15：当m≤0时，有F（x）＜0，是不满足题意的。

∴F（x）＜0恒成立 ∴在[1，e]上不存在x0，使得F（x0）-g（x0）＞h（x0）成立。

∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx2+m＞0 ∴F（x）＞0在 x∈[1，e]恒成立，

教师：刚才我们研究了不等式的恒成立与不等式能成立问题，逻辑上看，全称命题的否定就是一个存在性命题，而存在性命题的否定就是一个全称命题。而不等式的恒成立问题就是一个全称命题，不等式的能成立问题也就是一个存在性命题，从逻辑上看它们是可以相互转化的，那从集合论看，他们有什么关系呢？

学生16：从集合论来看，它们就是互为补集的关系。

教师：基础真扎实！那我们用这个思路继续来研究第三小题。

方案3：假设对任意x∈[1，e]，都有f（x）-g（x）≤h（x）成立，

当x=1时，m为任意实数，

（研究函数M（x）的单调性与方案1同）∴M（x）min=M（e）

综上可得：若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立，则

四、教学思考

一节好的数学课，犹如一段美妙的旋律，给人以美好的体验，这节课所产生的效果是令人欣慰的。

1.“一题一课”是以教师的“深度设计”为前提，是用教师的教学智慧来点燃学生学习的火把。“一题一课”的“题”需要教师去筛选、研究和把握，要深刻理解这道题的问题背景、考查的知识点和基本数学方法、考查的思维能力和数学素养，要深入思考如何将这道题加以利用和设计、如何通过这道题打开思维的窗口。而且在课堂教学中，如何适时引领学生探索和反思，并提炼、归纳和总结等等，对教师平时的思考和积累、课前的精心预设和准备、课上的激励评价和教学机智等都提出了更高的要求。

2.“一题一课”一定是学生“深度参与”的过程，是在教师的“贴地而行”中实现学生的“翩翩起舞”。“一题一课”的设计基础是“学生”，若离开对学生知识现状、数学基础、特定知识的生长点与潜在困难的准确把握，再完善、再漂亮的设计也达不到理想的效果。“一题一课”的课堂要充分发挥学生主体作用，一定要让学生体会和经历知识的发生、发展的过程，有充分的思考，去体验数学的本质，学会理性思维，从而获得感受、体验和领悟。

3.“一题一课”是促进学生“深度学习能力”提升的途径和方法，让学生学会深度思考，学会感悟，从而提高学生的核心素养。“一题一课”的研究能引导学生认真观察题目中的信息和结构特征，从不同的角度，不同的方向，加以分析探讨；“一题一课”让学生通过解题分析，重视知识的联系及相互转化，深入领悟数学本质；“一题一课”让学生学习遇到障碍善于观察分析，敢于猜想实践，从而培养学生积极思考、勇于探究的学习习惯。所以“一题一课”更重视学生深度学习能力的提升、核心素养的培养，让学生获得更长久的发展和成长，使学生终身受益。

“一题一课”遵循学生的认知规律，“借题发挥”，引导学生去探索数学问题的规律和方法，引领学生自主探究和独立思考；使学生的认知不断完善，思维层次不断递进，分析问题和解决问题的能力不断提升，达到了“做一题，通一类，会一片”的教学效果，可以说，“一题一课”的教学智慧让课堂有效落实了“数学深度学习”。