破解一道中考四边形压轴题

江苏省启东市建新中学 洪 岩

几何推理、图形的证明和计算一直是初中数学的重难点。发掘几何图形的结构特征，多方面找到图形的数量关系，引导学生归纳基本几何图形组合结论，通过添加辅助线找到相似图形，间接寻找边与边的关系，有助于开阔学生的思路。

一、试题呈现，展示解法生成

（2017 衢州） 在直角坐标系中，过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,连接OB，D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F,连接EF。已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒。

图1

图2

（1）如图1，当t=3时，求DF的长。

（2）如图2，当点E在线段AB上移动时，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值。

（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1∶2时，求相应的t的值。

解：（1）∵四边形OABC为矩形，∴AB=OC,∵C点为（0，6），∴AB=6,

∵E点从A点出发，每秒走一个单位，∴t=3时，AE=3。

∵AB=6，E为AB上一点 ∴点E为AB的中点。∵点D为OB的中点，∴DE∥OA，DE=OA=4。

∵OA⊥AB，∴DE⊥AB ∵∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE, ∴∠EDF=90°。

∵四边形DFAE为矩形， ∴DF=AE=3。

（2）∠DEF大小不变，如图3，过D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分别是M，N。

图3

∵四边形OABC为矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形。

∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA,根据平行线分线段成比例定理得

∵点D为OB中点，∴M,N分别为OA,AB的中点。∵A点坐标为（8，0），∴OA=8，∴DN=OA=4，∵AB=6，∴DM=AB=3。∵∠EDF=90°，∠EDF=90°，∴∠NDE+∠EDM=90°，∠FDM+∠EDM=90°。

∴∠NDE=∠FDM，又∵△DMF和△DNE是直角三角形，

（3）过D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分别是M，N。

连接AD交EF于点G，DG将△DEF分成的两个三角形：△DEG和△DFG，设D点到EF的距离为h,则·h，

①∵AD将△DEF的面积分成1∶2的两个部分，

当S△DEG∶S△DFG=2∶1时，。过点G1作G1H⊥AF，则△FHG1∽△FAE。

∵G1是直线AD上的一点，G1的纵坐标为HG1的长度，也就是

②∵AD将△DEF的面积分成1∶2的两个部分，当S△DEG∶S△DFG=1∶2时，

过点G2作G2H⊥AF,则

∵G2是直线AD上的一点，G2的纵坐标为HG2的长度，也就是

综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1∶2时，的值为

二、分析难点，提升思维能力

从解题过程，我们可以看到，这道题虽然是个四边形的问题，但是这个四边形与数轴相结合，就需要明白直线上所有点的横坐标与纵坐标都满足一个数量关系。在解题过程中，要求学生能根据已知条件找到结论中数据的数量关系，一步步地推理，每一步都要依据已知条件或者是相关定理得出，这有助于培养学生精确的数学逻辑思维能力。

三、教学感悟

四边形问题的解析是一个不断探索的过程，在解题的过程中会需要用到代数相关的数量关系，教师在教学过程中要扩大解题思路，要求不断地探索新的解方法，要能灵活运用知识，并能在众多数量关系中提取有用信息，这样将有助于提升中学生的解题技巧和解题能力，从而提高课堂教学的有效性。