高考中数列不等式证明问题的探究

湖北省孝感高级中学 周 飞

数列是高考中数学考查的重要内容，数列与函数、方程、不等式、解析几何的关系十分密切，高考中数列常以与这些知识的综合为考查对象，主要考查学生的运算能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的能力、数学归纳能力及综合创新能力。而且数列中的递推思想、函数方程思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧在中学数学中都有重要的地位，因此围绕数列可以命制综合性较强的试题。历年来，数列一直是高考的重点和热点，甚至有些省份设置的是难题。下面就高考中数列不等式问题,谈谈几种策略在证明不等式中的运用，并作一些归纳和探究。

一、利用基本不等式拆项，构造类似等比数列的不等式，迭代法证明不等式

二、方幂合并，把相邻的合并，通过放缩变成一个便于求和的式子，从而证明不等式

本题证明过程中，将项合并，通过放缩将每一个括号内各项的和求出即可。

三、奇偶合并，把一奇一偶的两项合二为一，再进行适当的放缩，以达到证明的目的

（1）求数列{an}的通项公式；

如果直接对不等式进行放缩很难达到目的，若注意到通项公式中含有，是一个摆动数列，则可以将相邻的奇偶合并，再进行适当的放缩方法，可有效解决问题。

四、利用二项式定理放缩不等式

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）由（1）得：

在不等式证明中，与整数指数幂有关的不等式证明，根据其不等式结构特征，直接运用二项式定理展开，结合放缩法去证明，往往能出奇制胜、获得简洁、新颖的证明方法。同时也达到了对学生证题技能和创造力的过程目标。当然，选取不同的放缩方式还可以这样证明：

五、利用数学归纳法证明不等式

例5 已知数列{an}满足：

（1）求{an}的通项公式；

下面用数学归纳法证明此不等式：

（1）当n=2时，显然成立；

（2）假设当n=k(n≥2)时，不等式成立，

所以当n=k+1时，不等式成立，由（1）（2）得原不等式成立。

证明过程中构造一个不等式，先用数学归纳法证明再求和，最后合理放缩以达到转化的目的，从而使命题得到证明。

六、利用函数单调性证明不等式

（1）若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；

（2）设数列{an}的通项，证明：＞ln2。

本题是一道以函数为载体的数列综合题，考查导数、数列求和、不等式等知识、能力，充分体现了数列的综合性。在证明过程中对运算求解能力，推理论证能力有较高要求。利用导数证明的一个函数不等式，通过巧妙地赋值得到一个数列的不等式，在证明过程中先分拆，后累加合并，使命题的证明得到有效控制。