高考全国卷理科数学“函数和导数”试题特点及复习策略

陈序平

【中图分类号】H310.4 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）08-0266-01

“函数和导数”是高考数学的重要内容之一，全国卷理科数学从分值比重来看，近三年（2016年～2018年）高考所占分值基本上保持在17～27分之间，具体如下表：

导数的应用是函数考查的重要要求之一，从近三年全国卷高考理科数学试题分析看，常见考点可分为六个方面：（1）含参变量的取值范围问题，如2018年全国Ⅱ卷第21题、2016年全国Ⅰ卷第21题，通常在“函数与导数”的解答题出现。（2）证明不等式的问题，如2017年全国Ⅲ卷第21题、2016年全国Ⅰ卷第21题。（3）函数零点（方程的根）问题，如2017年全国Ⅰ、Ⅱ卷。（4）函数的最值与极值问题，如2018年全国Ⅰ卷第16题、2016全国Ⅱ卷第21题。（5）导数的几何意义问题，如2018年全国Ⅱ卷14题、2016全国Ⅱ卷16题，通常在选择填空题较多。（6）存在性问题，如2018年全国Ⅱ卷21题、2017年全国Ⅱ卷第21题。

选择、填空题考点可总结为八类：一是分段函数，如2018全国Ⅰ卷第9题、2017年全国Ⅲ卷第15题；二是函数的性质，如2017全国Ⅰ卷第5题；三是基本函数，如2016年全国Ⅲ第6题；四是函數图象，如2018年全国Ⅱ卷第3题；五是函数零点（方程的根），如2017全国Ⅲ卷第11题；六是函数的最值，如2018年全国Ⅰ卷第16题；七是导数及其应用，如2016全国Ⅰ卷第7题；八是定积分，虽然近三年全国卷没有考查到，但这以前的全国卷也偶尔涉及到，也应引起关注。

选择、填空题考查涉及到的数学思想方法也相当丰富，如分段函数问题常与分类讨论思想相结合，有关方程根的情况判断常涉及函数与方程思想和等价转化思想，研究函数的图象问题和基本函数的性质时常利用数形结合思想等。

例1（2018年理科全国Ⅰ卷T9）已知函数f（x）=ex，x≤0Inx，x>0，g（x）=f（x）+x+a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）

A.[-1，0） B.[0，+∞） C.[-1，+∞） D.[1，+∞）

分析：本题主要考查分段函数、函数零点个数等知识的综合运用，考查分类讨论，数形结合等思想的应用。

例2（2017年理科数学全国Ⅱ卷T11）若x=2是函数f（x）=（x2+ax-1）ex-1的极值点，则函数f（x）的极小值为 （ ）

A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D. 1

分析：本题考查导数计算，导数与含参函数极值问题的结合，求导数时涉及简单的复合求导问题。

解答题主要是利用导数处理函数、方程和不等式等问题，有一定的难度，往往是解答题最后两道题之一，特别地，近五年全国卷都是以最后一道压轴题的形式出现。解答题较为侧重考查丰富的数学思想，如函数与方程思想常应用解决函数与方程的相关问题，等价转化思想常应用于不等式恒成立问题和不等式证明问题，分类讨论思想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题。同时要求考生有较强的计算能力和综合问题的分析能力。

例3 （2016年理科数学全国Ⅰ卷T21）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2.

分析：本题考查含有参数的函数单调性、极值、零点等问题，难度较大。通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简，解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.

近几年来与导数有关的函数压轴题，经常会碰到导函数具有零点，但求解相对比较繁杂甚至无法求解的问题。此时，我们不必正面强求，可以采用将这个零点只设出来而不必求出来，然后谋求一种整体的转换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决，我们称这种解题方法为“虚设零点”法。“零点分布和运用极值点满足关系式——虚设零点”，这一方法最早在2012年全国文科第21题官方答案中出现，接着在2013年全国Ⅱ卷理科第21题、2015年全国Ⅰ卷和Ⅱ卷第21题、2016年全国Ⅱ卷理科第21题、2017年全国Ⅱ卷理科第21题第二问等题目的官方答案中多次出现。在教学时候，如果学生本身程度较高，需要做必要的突破时，可以适当引导学生理解并运用这一方法。

针对近几年高考全国卷的试题特点，我们在复习备考时要强调几点：（1）深研课标、考纲，深入学习新课改的数学理念，在教学中渗透“六大核心素养”的要求；（2）落实“三基”教学，确保基础过关；（3）注重思想方法，掌握通性通法；（4）回归课本，研究题型来源及变化；（5）重视重要知识和重要思想方法；（6）强化解题能力，注意解题规范；（7）遵循课标理念，合理控制题目难度，要基础也要区分度；（8）降低选择填空题的难度并多涉猎压轴题的题型。

注：本文是基于“福建省宁德市中学教育科学研究2018年度课题：高考全国卷数学科试题特点及教学对策研究”的研究成果，课题立项批准号：FJNDKY18-803。