谈解析几何背景下三角形面积公式的合理化选择——以一道解析几何试题的多种解法为例

云南 马孟华

三角形面积的计算对于学生来说是一个“既熟悉又陌生”的问题，熟悉是因为三角形的面积计算经常“出没”在各种类型的试题中，几乎每次数学考试都要跟三角形的面积“打交道”.但仍然有很多学生却又觉得很陌生，原因就在于不同问题背景下需要选择恰当的面积计算公式才能顺利解决问题，公式选择不恰当将会使计算变得繁琐和复杂，进而无法在有限的时间内顺利解决问题.三角形面积公式多，合理选择就成为了关键，下面作者就以解析几何为背景，通过对一道解析几何试题的多维角度分析，从一题多解的方式入手阐述合理化选择三角形面积公式的重要意义.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

【分析】此题为云南省下关第一中学2018年5月期中考试试题，第一问显然没有难到学生，第二问也比较常规，是高中阶段解析几何中常见的定值定点问题.但在阅卷过程中，第二问的得分率却很低(笔者所在学校为云南省一级一等学校，生源较优)，究其原因，是学生在处理第二问时，三角形面积公式的选择多种多样，而不同面积公式背景下的计算复杂、难易程度又不尽相同，从而导致很多学生不能得到较好的分数，此题背景下，合理选择三角形面积公式才是快速解题的关键.当然，阅卷过程中也有创新的思考与见解，如：利用三角形面积公式的向量形式求解、利用极坐标方程求解、利用椭圆伸缩变换成圆求解，就这样，作者从学生的“火热思考”和“奇思妙想”中得到启发，从多角度探究得到了处理该问题的多种方法，最终走向讨论三角形面积计算的问题上来.

下面我们一起来看看该问题在不同视角下的解法探究.

视角一常规解析几何定值问题，假设直线方程，写出韦达定理，配合使用三角形面积计算基础公式即可(通性通法)

综上，△MON的面积为定值1.

视角二直线方程假设有技巧，简化计算是方向

【分析】在解法一基础上，发现假设直线MN的方程会使计算变得复杂、繁琐，而有学生注意到直线OM,ON的方程较为简单，故可尝试将椭圆方程与直线OM(或ON)的方程联立求出M,N的坐标，进而在△MON中可将OM(或ON)看作△MON的底边，点N(或M)到直线OM(或ON)的距离也可求出，故可快速表达并计算出△MON的面积，解法如下：

故△MON的面积为定值1.

【评析】此法仍然延续使用了三角形面积的基础公式，将研究的直线转向了OM(或直线ON)，这样计算得以简化，同时也避免了对直线斜率的讨论，但由于三角形的面积公式仍然使用了基础公式，故计算并未变得简单，加之很多学生由于计算能力和时间分配问题导致了有想法但未能完成复杂的计算而完整的求解该题.

纵观上述两个视角下的两种解题过程，呈现了一种经典的解析几何求解方法：设直线方程→联立方程组→写出韦达定理→利用韦达定理求弦长→求其点到直线的距离→求三角形面积.解析几何的经典求解方法虽然凸显了掌握解决问题的通式通法的重要意义，但却只完成了思考层面的程序化的问题，接下来的计算问题却是大多数学生最难逾越的障碍，这样虽然思路清晰，但却难以准确解答此题.是否有更加行之有效的方法解决这个问题呢？当然有，就是找到合适的三角形的面积公式.

视角三三角形面积公式的向量形式来助力

人教社新课标A版《数学5》(必修)的第一章“解三角形”中，三角形的面积公式有了如下形式：

综上，可得△ABC面积的向量形式为

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)为△ABC任意两条边所构成的向量，则△ABC面积为

事实上，三角形面积公式的向量形式脱离了边长、角度、高对三角形面积的束缚，只需三角形三个顶点构成的任意两个向量的坐标即可，这同时也体现了解析几何的本质是用代数解决几何问题，而向量就是连接几何和代数问题的桥梁.

在该面积公式的指引下，如果能够找到△MON中点M,N的坐标，那么△MON的面积表示就变得简单和直接.当然，解析几何背景下点M,N的坐标简单的假设M(x1,y1),N(x2,y2)是无法解决问题的.如果在椭圆参数方程的背景下将点M,N的坐标假设成为含参数的三角函数形式，那么问题是否就会有了转机呢？下面我们来看看解法三.

故可设点M,N的坐标分别为M(2cosα,sinα),N(2cosβ,sinβ)，如图所示，

由三角形面积公式的向量形式可知

【评析】由上述解法不难看出，在解析几何背景下，三角形面积公式的向量形式的合理使用大大提升了解题效率！这当然得归功于：①三角形面积公式的向量形式将几何三角形的面积问题转化为了代数问题；②椭圆的参数方程又轻松实现了三角形顶点坐标的假设，这样几何问题实现了代数化，而代数形式下的三角面积问题又实现了三角函数化，而三角函数在解决函数最值、范围等问题上又有其优势，自然就会提升解题的效率.从以上几种解题方案不难看出，三角形面积公式的向量形式不仅高效，而且也能优化数学运算，实为一种解决三角形面积问题的好方法.

值得注意的是在阅卷过程中，也有极少数的学生解答却是利用了向量外积的几何意义进行求解，向量的外积运算不是高中数学所学内容，但它却在解决三角形面积问题以及立体几何求解平面法向量中起到了重要的作用，而在学生层次较高的高中都会补充向量的外积运算及其几何意义，在此，作者也对该运算进行简单的介绍.

a与b的外积记作：a×b，其也是一个向量，它的大小(模)为|a×b|=|a|·|b|·sin，方向根据右手法则确定，就是手掌立在a与b所在平面的向量a上，掌心向着b，那么大拇指所指方向就是a×b的方向，该方向垂直于a与b所确定的平面.如图所示.

由定义可知，|a×b|=|a|·|b|·sin，故a与b的外积的大小即为以a与b为邻边的平行四边形的面积，这就是向量外积的几何意义.

不难看出，向量的数量积(內积)和外积在表示三角形面积的向量形式上有“异曲同工”之妙，而此时教师也可顺势提出“行列式”这一抽象的数学概念，从而使得学生感知新知识的获得是自然和合理的.在向量外积几何意义的背景下，我们可以得到如下快速解法：

故可设点M,N的坐标分别为M(2cosα,sinα),N(2cosβ,sinβ)，

由向量外积的几何意义可知

故△MON的面积为定值1.

视角四椭圆极坐标方程下的三角形面积计算

设点M,N的极坐标分别为M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)，故有

这里由于cosθ1·cosθ2=-4sinθ1·sinθ2，故8sin2θ1sin2θ2=-2sinθ1cosθ1sinθ2cosθ2，

故△MON的面积为定值1.

【评析】在椭圆极坐标方程的形式下，三角形的边长可以用极径来表示，两边的夹角可以用极角来表达，这样三角形的面积就可快速转化为极坐标系下的极径和极角的表达式(当然，这里的三角形的一个顶点必须是原点)，之后结合点的极坐标满足椭圆的极坐标方程，再将极径转化为极角的三角函数形式，最终在极坐标系下将三角形的面积化归为一个纯三角函数的问题，间接的考查了学生运用三角公式进行化简运算的能力.然而，本题涉及的诸多三角公式及其技巧太多，故此法不宜采纳，但对于培养学生的思维能力、运算能力和理解能力还是具有一定的价值.

视角五伸缩变换，椭圆变圆，巧解三角形面积

解析几何是用代数的方法研究几何问题，它的本质仍是几何问题，如果在解题过程中充分挖掘并运用几何性质，是一个非常好的简化运算方法.我们知道椭圆经过伸缩变换可以转化为圆，而圆具有丰富的几何性质且计算圆中三角形的面积比较容易，这样就有了如下的解法.

根据伸缩变换前后封闭图形的面积比不变，故由前面的伸缩变换可知S△MON:S△M′ON′=2∶1，

从而得到S△MON=1，故△MON的面积为定值1.

【评析】在伸缩变换下，此题中三角形面积计算问题转化为了圆中利用两邻边与夹角的正弦的乘积来求解，而恰巧的是经过伸缩变换后三角形MON在圆中变换为了直角三角形，面积计算又回到了原始定义上，更加地简化了计算，提高了效率.以上伸缩变换的方法其实来源于仿射变换的观点，初等几何的几何图形经仿射变换后，图形有了变化，但有部分性质和某些量是保持不变的，如：变换前后平行线段长度比不变、面积比不变、斜率比不变等，这些不变量和不变性为初等几何的一些问题的解决(如求解和证明)提供了新的方法，使问题的解决变得更为直观和快捷.

总结基于解析几何背景下的三角形的面积问题、定值定点问题均属解析几何中的经典问题，解决此类问题就必须“理清思路，简化计算”，而该题不同视角下的不同解题策略的核心就在于：一是要合理使用三角形面积公式，即三角形面积公式多，合理选择是关键；二是在不同的三角形面积公式下要恰当的选择不同的知识体系和方法来支撑面积的计算问题，突破或规避计算上的难点和障碍才能有效地解决问题，最终提高解题效率.