高中数学中的直接证明与间接证明探析

摘 要：对高中数学直接证明和间接证明进行研究的目的在于提高教师教学的效率，提升学生逻辑思维能力。所以，本文从综合法、分析法、反证法等方法的合理运用，探讨了高中数学直接证明和间接证明的有关问题，以供参考。

关键词：高中数学;直接证明;间接证明

众所周知，在高中数学推理和证明之中存在着直接证明和间接证明相关的问题，伴随高考改革的持续深入，新课程修订工作的不断加快，进而实施了全新的考试大纲。在高中数学这一方面，删了部分几何证明模块，设置了数学文化，对高中学生而言区别不大，可是证明问题仍旧是高考的难点与重点。所以，对高中数学中的直接和间接证明问题进行研究是很有必要的。

一、 综合方法的运用

综合法是直接证明中的一种证明方式，其是从已知条件出发，以已知的定义与定理作为必要依据，进而一步步推导，待推出需要证明出的结论为止。该证明方式就是综合方法。已经知道条件……结论。通常命题的结论都是存在非常明确的证明方向的，比较适合使用综合方法。

比如，已知PA⊥矩形ABCD所处平面上，而M与N分别为AB、PC中点，试证明：MN∥平面PAD。

解析：需要取PD中点E，进而连接AE与NE。因为，N和E分别是PC、PD的中点，所以，EN是△PCD中位线，所以，EN 瘙 綊 12CD，而AM则等于12AB，因为ABCD是矩形，所以，CD∥AB，同时CD=AB。所以，EN∥AM，同时EN=AM，所以，AENM是平行四边形，而MN∥AE，且MN平面PAD，而AE平面PAD，所以，MN∥平面PAD。

二、

分析方法的运用

分析方法是直接证明方式中的一种，其是从问题的结论下手的，进而推导出使得结论成立的条件，进而上测，待使结论成立的条件与已经知道的条件相契合，该种类型的证明方式就是分析方法。而分析方法的推导流程是就是：……已知条件。通常来说，包含了分式与根式的不等式，或者根据条件着手思路不显著的命题，需要思考使用分析方法。

比如，探索数学不等式ab小于等于a+b2（a大于0，b大于0）成立与否。

分析：对这一数学命题可以使用分析方法来证明，命题的条件应当成立，以此就必须要证明2ab小于等于a+b，进而将不等式变成：a+b-2ab大于等于0，深入到（a-b）2大于等于0，该不等式是成立的，因此，最终的命题也是成立的。通过命题结论，分析可以让命题成立的条件，逐步推导，到结论成立条件与已知条件达成一致。在教学时，便需要细致讲解，确保学生理解。

三、

综合与分析方法合并运用

作为高中数学教师，在实际教学过程中，需要让学生明白并非是同样一个题目仅仅可以使用综合方法或者分析方法，一些时候，同样一个题目可以将这两种方法合并运用。所以，教学过程中，教师需要让学生了解进行实际问题解答的过程中，可以全面的思考方法的实际运用。比如，已经知道线段AB与CD相交于O点，△ACO≌△BDO，E、F为AB上的两点，AE=BF，求证：CE=DF。

分析：教学这一类题目的时候，我们可以发现其可以采用分析方法或综合方法处理。题目是比较简单的，可是要想构成一定的思维逻辑，第一步应当借助分析方法来寻找解题的思路，第二步就需要利用综合方法表达出来。按照分析方法的解题思维过程，需要求证CE等于DF是成立的，则应当求证△EOC≌△FOD，为证明这一命题是成立的，亟需求证CO=DO，EO=FO，∠EOC=∠FOD。要想求证以上条件均是成立的，必须要分别证明△ACO≌△BDO与AO=BO，∠EOC=∠FOD。由于两个角是对顶角，因此必然是相等的。在这之中，AO=BO，那么可按照已知条件AE=BF，同时△ACO≌△BDO就可以证明，这个时候以上条件都可以得证，△EOC≌△FOD成立，那么问题的命题即可得证。据此，借助综合方法将这一解题过程充分表达出来，其具体步骤就是：因为，△ACO≌△BDO，同时AE=BF，所以可以知道CO=DO，EO=FO，因为，这两个对顶角∠EOC=∠FOD，所以可以得到：△EOC≌△FOD，所以证明CE=DF是成立的。

四、

间接证明之反正方法的运用

在高中数学教学过程中，我们常说的间接证明实际上是相对于直接证明而言的，一般采用的方式就是反正方法。这种方式就是首先通过假定一个与原来命题相反的命题，接著去证明这个假定的命题，最终可以得到矛盾的结果。这个时候证明假定命题不为真，也就是可以反向证明原本命题是成立的。通常条件下，很多数学证明问题均能够使用直接证明的方式进行求证，倘若部分证明问题里面出现了至少、唯一性或包含否定词的命题，往往需要借助反正方法进行求证。

比如：设a和b均为实数，是证明方程x3+ax+b=0最少有一个实根。对于这个问题，就可以假定命题：1. 方程x3+ax+b=0最多存在一个实根;2. 方程x3+ax+b=0最多存在两个实根;3. 方程x3+ax+b=0不存在实根;4.

方程x3+ax+b=0刚好存在两个实根。以上问题其实非常简单，这道数学问题考查的是学生对于反证方法的运用，所以，必须要思考到的是最少这一词汇的反面，因此，需要把最少存在一个实根否定成不存在实根，这样一来，就可以快速得到正确的答案了。所以，这道问题的正确答案就是第三个选项。

五、 结束语

总而言之，作为高中数学教师，在实际开展直接证明与间接证明相关知识点教学的过程中，应当依据题目的实际情况采取最合理的方式。教师教学时，除了需要让学生掌握好直接证明与间接证明解答问题的思维方法与特征以外，还应当让学生对问题进行全面分析和对比。进而找到各种方法的优势和劣势，进而挑选出最合适的方式进行灵活运用，确保有关证明问题可以得到充分解决。

参考文献：

[1]项冠炜.高中数学证明题的解答策略[J].中学数学，2018（13）：94-95.

[2]刘天炀.数学归纳法在高中数学中的应用[J].低碳世界，2017（35）：352-353.

[3]贺煊之.高中数学四大推理方法搞定证明题[J].农家参谋，2017（14）：73.

作者简介：

贾文宁，甘肃省定西市，渭源县第三高级中学。