模式化

摘 要：模式化是一种常用的数学方法，也是一种有效的思维策略。所谓模式化，就是通过建立解决问题的模式，或运用原有解题模式解决新问题的方法。比如，分类加法计数原理和分步乘法计数原理就是解决计数问题的常用数学模型。因此，运用模式化方法解题本质上就是建立模式或运用模式。模式化的解题策略体现了化归的思想方法，有时是化生为熟，有时则分解为简单的、基本的问题。同时，它还是类比、联想等思维活动得以展开的基础。

关键词：模式化;解题;数学

一、 模式识别，直接运用模型

例1 停车场内某排共有10个车位，现有6辆汽车停放在这些车位上，有且仅有3个相邻的车位是空位的排法有多少种？

分析：根据题意，可将相邻的3个空位捆绑起来，作为一个空位，这样，就可以先将6辆汽车排成一排，再将两个空位插入空档，故共有A66A27种排法。

评注：根据题设条件，可自然地想到处理相邻和不相邻问题的排列模型：捆绑法和插空法。

例2 定义：max{a，b}表示a，b中的较大者。设函数f（x）=max{1-x，1+x}，g（x）=|x2+k|，若函数y=f（x）-g（x）恰有4個零点，则实数k的取值范围是    。

分析：f（x）=max{1-x，1+x} g（x）=|x2+k|（k∈R）恰有4个零点，

当k=54时，f（x）与g（x）相切。如图，

结合图形：则k的取值范围（-∞，-1）∪1，54。

评注：根据本题题设，可以发现问题即为函数的零点问题，处理办法即为数形结合，属于典型的函数与方程模型。

二、 变换转化，创造条件运用模型

例3 已知（x2-x+1）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，

求a0+a2+a4+a6+a8+a10和a1+a3+a5+a7+a9的值。

分析：联想到处理二项展开式的系数和、奇数项与偶数项的系数和等问题的解题模式：通过赋值，使字母因式的值为1或-1，构造关于系数和，或奇（偶）项系数和的思想，自然可以考虑在已知恒等式中分别令x=0与x=-2，得到a0+a1+a2+…+a10=1，a0-a1+a2-…+a10=75，两式相加，可得a0+a2+a4+a6+a8+a10=12（75+1）=8404。两式相减，可得a1+a3+a5+a7+a9=12（1-75）=-8403。

评注：本题通过联想类似模型，揭示两者关系，利用已有模型的操作方法获得解题思路。

三、 结构分析，建立新的模型

例4 如图所示，从A处沿街道走到B处，要求所走路程最短，共有多少种不同的走法？

分析：如果用枚举的方法进行分类研究，由于种类较多显得较为烦琐，而且这样的模式难以推广到一般情形。

注意到在按题目要求从A走到B的过程中，需要走东西方向4段街道，南北方法5段街道，不同走法的区别就在于所走9段街道中的哪几个步骤走东西路，于是共有走法种数为C49。

评注：这个问题的解法可以一般化（即模式化）：如东西n条街道，南北m条街道，则走法种数为Cn-1m+n-2。

例5 正四面体的各顶点为A1，A2，A3，A4，进入某顶点的动点x不停留在同一顶点上，每隔1秒钟向其他三个顶点以相同的概率移动。n秒后x在Ai（i=1，2，3，4）的概率用Pi（n）（n=0，1，2，…）表示当P1（0）=14，P2（0）=12，P3（0）=18，P4（0）=18时，求Pi（n）（n=0，1，2，…）。

分析：根据题意，我们可以考虑构造数列模型研究这个问题，并应该从递推关系上着手探索。为此，我们先考虑P1（n）的递推关系。

解：依题意，P1（n+1）=13P2（n）+13P3（n）+13P4（n），又因为n秒后动点x一定在A1，A2，A3，A4中的某个顶点上，所以P1（n）+P2（n）+P3（n）+P4（n）=1，于是有P1（n+1）=13[1-P1（n）]。

所以P1（n+1）-14=-13P1（n）-14，即数列P1（n）-14是以-13为公比的等比数列，注意到P1（0）=14，可得P1（n）=14。

用同样的方法，可求得P2（n）=141+（-13）n，P3（n）=P4（n）=14-18-13n。

评注：本题关键在于抓住递推的特征，构造了数列模型沟通了相邻项之间的关系，实现了实际问题的数学化。同时，我们还可看到，对递推数列，我们也通过变形，构造了等比数列模型，使得数学问题得到解决。

作者简介：

骆国峰，江苏省镇江市，江苏省大港中学。