亚里士多德的显示法的扩展应用

杜鹏昊

（中央财经大学，北京 100081）

1 亚里士多德的三段论系统简介

亚里士多德的三段论证明体系中，用现代逻辑理论来理解，是把第一格的四个式：AAA、EAE、AII、EIO作为他的证明系统中的公理。在亚里士多德最后的阐释中，又把第一格的AII和EIO化归为第一格的AII和EIO，所以亚里士多德的三段论证明系统中，最核心的公理只有第一格的AAA和EAE（卢卡西维茨，2009）。亚里士多德证明其他格的有效式主要用到了化归法、归谬法，仅在证明第三格AAI式OAO式时提及可用显示法证明，而且能用显示法证明的式也可以用其他的方法证明（张家龙，2004）。所以看似显示法的作用并没有多么广泛，但是显示法所运用的思想是非常巧妙的，而且显示法也可以扩展应用到其他三段论式的证明中。

区别于传统形式逻辑所认可的四个格，亚里士多德只把三段论系统分为三个格，根据张家龙先生（2004）的说法，亚里士多德把第四格的三个式划归为第一格的三个非标准式。之后，亚里士多德的学生德奥夫拉斯特把其数量扩充为五个，这个补充就是现在所说的第四格的有效式。所以，亚里士多德的三段论系统是可以扩充到第四格的，即使亚里士多德当时未提及第四格，第四格也仅仅是在第一格AAA、EAE式两条公理下所能推理出的定理（郝旭东，2015）。本文采用包含第四格的三段论理论来论述，三段论的四个格及其对应的有效式如下：

第一格 第二格 第三格 第四格

M----P P----M M----P P----M

S----M S----M M----S M----S

S----P S----P S----P S----P

第一格的有效式为：AAA（核心公理），EAE（核心公理），AII（公理），EIO（公理），AAI，EAO

第二格的有效式为：AEE，EAE，AOO，EIO，AEO，EAO

第三格的有效式为：AAI，EAO，AII，EIO，IAI，OAO

第四格的有效式为：AAI，EAO，AEE，EIO，IAI，AEO

2 显示法的运用

亚里士多德在《前分析篇》中提及可以运用显示法证明的为第三格的AAI和OAO的证明。我运用了命题逻辑的方法对这两例的具体如何运用显示法证明进行了说明。

图1 SOP表示的P、S、N的关系图

图2 0SIP关系图

图3 SAP关系图

2.1 运用显示法证明第三格AAI

（2）选取显示词项N，从S中选出N，N满足所有N是P，所有N是R

（3）所以有SAP→NAP，SAR→NAR

（4）通过换位法NAR→RIN

2.2 运用显示法证明第三格OAO

（2）选取显示词项N，从S中选出N，使N满足所有N不是P。

（3）所以有SOP→NEP，SAR→NAR

（4）通过换位法NAR→RIN

图4 SEP关系图

图5 POS关系图

第一个证明的意义不大，只是运用了显示法，但核心的思路还是与亚里士多德书中给出的化归法证明方式相同。第二个证明凸显出了显示法的作用，它与亚里士多德给出的归谬的方法是完全不同的思路。

3 显示法的原理及运用条件

显示法在三段论的证明体系中，本质也是化归的方法，更像是一种与换位法类似的证明途径，为了更好的将要证明的式化归为第一格的四条公理。显示法的核心是选取适宜的显示词项，显示词项在原词项范围中，将原词项的范围缩小，从而可以具有更加明显地与其他词项的关系。

例如，在证明2中，从S中选出N，N满足所有N不是P，因为原式含义是有的S不是P，用欧拉图表示P、S、N的关系如图1。

SOP所表示的P与S的关系共包含以上三种可能，在这三种可能下均可以选出显示词项N满足所有N不是P的。所以有SOP→NEP。

为了运用显示法证明其他各式的有效式，需要总结出各类三段论命题运用显示法后所能得出的结果。

（1）0SOP：SOP表示有的S不是P。如上所述SOP→NEP。同时，在上图所述的三种情况下，也可使选出的N满足有的N不是P，即SOP→NOP。

（2）0SIP：SIP表示有的S是P，从S中选出N，使N满足所有N是P，用欧拉图表示三者的关系如图2。

图6 PIS关系图

图7 PAS关系图

在SIP所包含的S与P的三种可能情况下，均可以选出N满足所有N是P，所以有SIP→NAP

同时，在上图中，也可以使N均满足有的N是P，所以SIP→NIP。

（3）SAP：SAP表示所有S是P，从S中选出N，用欧拉图表示所有可能的情况如图3所示。

从图中可以看出，无论N如何选择，N均满足所有N是P，所以SAP→NAP。

（4）SEP：SEP表示所有S不是P，从S中选出N，用欧拉图表示三者可能的情况如图4。

从图中可以看出无论N如何选择，均满足所有N不是P，所以有SEP→NEP。

（5）POS：POS表示有的P不是S，从S中选出N，用欧拉图表示三者之间关系如图5所示。

无论N如何选择，均满足有的P不是N，所以POS→PON。

（6）PIS：PIS表示有的P是S，从S中选出N，使N满足有的P是N，用欧拉图表示P、S、从S中选出的显示词项N这三者之间的关系如图6。

在P和S这三种关系的情况下，可以使N满足有的P是N，所以有PIS→PIN。

（7）PAS：PAS表示所有P是S，从S中选出显示词项N，使N满足有的P是N，如图7所示。

所以可以选出符合条件的N，所以PAS→PIN。

同时也可以使N满足所有P是N，如图8。

图8 PIN关系图

图9 PES关系图

图10 弱显示式

所以可以选出符合条件的N，所以PAS→PAN。

（8）PES：PES表示所有P不是S，从S中选择出显示词项N，这三者之间的关系如图9所示。

根据图像可以看出，无论N如何选择，均有PES→PEN。

这8类三段论命题运用显示法所能得到的蕴含式有：SOP→NEP、SOP→NOP、SIP→NAP、SIP→NIP、SAP→NAP、SEP→NEP、POS→PON、PIS→PIN、PAS→PIN、PAS→PAN、PES→PEN这11个。

其中，SAP→NAP、SEP→NEP、POS→PON、PES→PEN这四个蕴含式是无论N在S中如何选择均成立的，我先将其定义为“强显示式”。

另外，SOP→NEP、SOP→NOP、SIP→NAP、SIP→NIP、PIS→PIN、PAS→PIN、PAS→PAN这七个蕴含式是在不同的P与S的关系情况下选择符合条件的N成立的，我将其定义为“弱显示式”。

在第二部分的第一个例子中SAP→NAP，SAR→NAR这两个是强显示式，本质与换位法证明没有区别。第二个例子中SOP→NEP是弱显示式，SAR→NAR是强显示式，在这个例子中显示法的证明是一种与书中的归谬法完全不同的证明方法。从这两个例子可以看出，有实际应用价值的证明方法是第二个例子。第二个证明之所以有价值，主要是因为SOP→NEP这个弱显示式的应用。而第一个证明没有太多证明的实际意义主要是因为SAP→NAP，SAR→NAR这两个式子只是把前提中的S替换成了N，命题类别没有变化，向三段论第一格四条公理的化归没有帮助。所以，真正使显示法有实际价值的是SOP→NEP、SIP→NAP、PAS→PIN这三个改变命题形式的弱显示式。

但是，需要注意的是运用显示法进行证明时，不能两个蕴涵式都是弱显示式。这是因为涉及四个词项时，选出的显示词项不一定能同时保证满足两个条件。例如：SOP→NEP、SOM→NOM这两式都是弱显示式，如图10所示。

S是P和M的总体，在这种情况下，从S中选择的显示词项N，若满足NEP就不能满足NOM，若满足NOM就不能满足NEP。

4 显示法的扩展应用

在清楚显示法的应用原理以及适用的条件之后，具体的将显示法应用于三段论的其他一些亚里士多德没有提及可以用显示法证明的有效式。

4.1 第一格AAI式

（2）从S中选出显示词项N，使N满足有的R是N

（3）有SAP→NAP（强显示式）、RAS→RIN（弱显示式）

4.2 第一格EAO式

（2）从S中选出显示词项N，使N满足有的R是N

（3）有SEP→NEP（强显示式）、RAS→RIN（弱显示式）

4.3 第二格EAO式

（2）从S中选出显示词项N，使N满足有的R是N

（3）所以有PES→PEN（强显示式）、RAS→RIN（弱显示式）

（4）PEN→NEP（换位法）

4.4 第四格AAI式

（2）从S中选出显示词项N，使N满足有的P是N

（3）所以PAS→PIN（弱显示式）、SAR→NAR（强显示式）

（4）RIP→PIR且PIR→RIP（换位法）

以上四个式是显示法的典型运用，其实在三段论系统中的其他很多式也可以使用显示法证明的。但是其他式就形似于第三格AAI式的证明，显示法不是证明中的关键方法。从上文可以看出，三段论的有效式中有大部分都可以运用显示法进行证明，其中有五个式（第三格OAO式加以上四个式）是显示法的典型证明。所以，显示法在三段论证明系统中并不是一个不重要的方法，而是因为化归法和归谬法的广泛运用而被忽视的重要方法。