浅析零点与极点对滤波器特性的影响

田慕晨

摘要：滤波器特性决定了输出信号与输入信号的关系，因此研究滤波器的特性十分必要，尤其是其幅频响应。而零点与极点作为波滤器的重要参量，其数量、形态、存在位置与相对位置对滤波器特性有着至关重要的影响。本文将通过matlab仿真，构造简单滤波器，并增删移动零点和极点，以探究其对滤波器特性的影响。

关键词：滤波器;幅频特性;零点;极点

一、实验过程

1.设置fdatool编辑参数

1.1Gain：增益，设置为1。

1.2Coordinates：可选极坐标系或直角坐标系。

1.3Conjngate：勾选则所画零极点成对。

2.设置fdatool显示参数

1.1脉冲响应与阶跃响应

右键单击横轴名称可选横轴为时间或采样点数，右键单击横轴可设置观测长度，若缺省则为50个采样点。

1.2频率响应

左键单击横轴名称可选横轴为模拟频率或数字频率。右键单击横轴可设置纵轴显示方式（线性增益或对数增益，弧度或角度），和观测范围，本实验选择[0，2π）。

二、实验结果及讨论

1.当设置所有极点均位于单位圆内。单位脉冲响应（h[n]）趋于0，阶跃响应（s[n]）趋于常数，即系统稳定，与零点位置无关。当任意极点在单位圆外，h[n]和s[n]都发散。

2.当系统为二阶系统，且极点成对，极点在单位圆上。h[n]和s[n]均有规律徘徊在固定幅值上下，既不收敛也不发散。但若一对极点重合于（-1，0）或（1，0），则h[n]和s[n]均线性增长。

3.当极点在单位圆内，极点离单位圆越近，振荡幅度越大，趋于稳定时间越长。

4.零点可抵消极点作用，零点离极点越近，抵消作用越明显，即h[n]振荡幅度越小，但趋于零所需采样点数不变。零极点重合，幅度响应为1，输出等于输入。

5.当极点均位于左半平面，脉冲响应大致正负交替，但不严格。当极点全部为于负实轴上，脉冲响应将严格逐点正负交替。当极点全位于正实轴，脉冲响应趋于零前每个采样点值均大于零。

6.当极点成对时，h[n]和s[n]为纯实数;当极点不成对且为复数时，h[n]和s[n]为复数，fdatool显示中以“·”表示响应的实部，以“*”表示响应的虚部。

7.当极点成对，且幅度响应关于对称。若极点关于实轴对称，则动点绕单位圆一周，动点与极点距离总关于对称。

8.当系统为二阶稳定系统，且极点成对时，将极点从右移到右，则通帶从高频移动到低频，且极点离单位圆越近，选择性越好。用幅度响应计算公式可证。

9.当编辑的极点个数大于零点，fdatool自动在原点处补齐相差的零点。而当编辑的零点个数大于极点，也自动补齐相差极点，不同的是，零点个数大于极点时，系统为非因果系统，必须补齐零点是必须的操作，而极点个数大于零点时，系统仍为因果系统。

在原点补零点或极点，相当于在H（z）上乘以，幅度相应取H（z）的模， 的模为1，因此幅度相应不变，h[n]和s[n]发生时移。

10.教材中h[n]前三个采样点值均为0.01，此规律说明此二阶系统有两个极点，没有零点，差分方程为：

而在fdatool中，由于fdatool在只输入极点时自动补齐零点，所以有两个极点，两个零点，差分方程为：

结果中仅第一个采样点有规律，第一个采样点的值均为1。

三、结论

因果系统中，当全部极点都位于单位圆内时，系统稳定。极点与零点都影响滤波器的特性。两者中，极点对滤波器特性的影响较大，零点的作用主要是调整由极点所引起的滤波器特性，调整的大小取决于它与极点的相对位置。

参考文献：

[1]程佩青.数字信号处理教程[M].第四版.北京：清华大学出版社，2013.

[2]郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统[M].第三版.北京：高等教育出版社，2011.

[3]Joyce Van de Vegte.候正信，王国安.数字信号处理基础[M].北京：电子工业出版社，2001.