浅谈数学直观想象素养的培养

秦孟彬

【摘 要】直觀想象是数学六大学科核心素养之一;它是指借助几何直观和空间想象感知事物形态与变化，利用图形理解和解决问题的过程[1]。在教学中我们可以以立体几何、解析几何，几何背景问题等为载体采用多种手段培养和发展学生的直观想象素养。

【关键词】数学素养;直观想象;培养

【中图分类号】G623.5       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）23-0283-01

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物形态与变化，利用图形理解和解决问题的过程[1]。直观想象是发现数学结论和解决数学问题的重要素养，表现在能利用图形探索和解决数学问题，构建数学问题的直观模型。那么在教学实践中如何培养学生的直观想象能力呢？

一、以立体几何为载体培养直观想象素养

人类本身生活在三维空间里，我们开设立体几何这一必修课程对于帮助学生们认识我们生活的世界具有很大的现实意义，而直观想象能力又是学生们学好几何的关键。因此，通过数学立体几何教学发展直观想象核心素养是恰当﹑适宜的。具体来讲我们有以下几种途径培养学生的直观想象能力。

1.在观察中发展学生的直观想象能力。

在数学教学中对直观想象教学主要是通过对几何的讲解实现，所以在教学活动中，组织学生观察棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球这些几何体。学生通过对棱柱的观察发现在棱柱中有两个面是互相平行的，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。而在圆柱的观察中，学生发现和棱柱一样，圆柱也有两个互相平行的面，但是中间却是长方形构成。经过学生的直观观察之后我让学生对空间和几何体的结构进行简单讲解，学生能够总结着说出空间几何体是由多面体和旋转体简单组合形成的。所以在进行对空间几何体的基础教学汇总，组织学生通过对事物的实际观察实现对空间几何体基础概念的学习，促进学生在进行解题过程中能够对空间几何体进行有效利用，从而实现对题目的作答。长此以往学生养成观察的习惯后，慢慢地直观想象能力就能得以加强。

2.利用身边实物培养直观想象能力。

我们生活在三维世界中，身边的一切事物都是我们学习立体几何的最好模型。在教学中我们要善于利用好身边的这些实物模型，帮助学生直观想象能力的形成。如我们的教室就是一个天然的长方体、教师里面的电灯、讲台、门窗、桌椅等都可以抽象成空间几何体中的点线面。为此我们看一结合教材教学内容，以同学们熟悉的场景设计模型进行举例，让学生感同身受地体会到总结所处的空间点线面的各种关系。再比如我们的课本、随意翻开课本就是一个很好的二面角模型，通过课本的展开我们还可以研究二面角的范围变化;我们教室门的开关与闭合正好可以演示线面平行的判定，也可以演示线面垂直的判定。这样的例子随处可见。因此在我们的教学和学生的学习中我们都要有意识地灌输和利用这种思想。这对发展学生的直观想象能力能起到很好的效果。

3.通过多媒体教学手段发展学生直观想象能力。

进入高中后学生从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。有的学生自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空间观念，是个好办法。若利用几何画板、几何图霸、Flash动画等教学工具对一些立体图形进行不同角度观察、揣摩，并且变化出线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。在教学实践中有几类几何问题是运用多媒体手段的最佳选择。

4.通过制作几何模型发展学生直观想象能力。

著名教育家陶行知曾说过“中国教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。中国教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议”。简单地说陶先生教导我们要在学中做，在做中学。因此想要学生的直观想象能力能得到较好较快的发展和提高，光靠用脑想象是不够的，还要把动手结合起来。具体来讲我们可以要求学生动手制作几何模型帮助学生提升直观想象能力。例如学完多面体和旋转体以后我们可以开展多面体和旋转体模型制作比赛。通过比赛既能让学生动手实践，在实践中体会空间点线面的位置关系，留下的模型既能为教学提供教具也可以留在教室供学生使用帮助学生解题。另外我们也可以利用网络的便捷性，购置一些磁铁棒和磁铁球，这样就可以快速地根据需要拼接出一些我们需要的几何体帮助学生理解问题。长期坚持这样做，学生的直观想象能力必然会得到提升。

二、以解析几何为载体培养直观想象能力

解析几何在本质上还是几何，因此解析几何题目也是培养学生直观想象能力的一大阵地。笔者的体会是，充分挖掘好解析几何的内容精心设计教学，对发展学生的直观想象能力是十分有效的。例如线性规划里面还有一些动态问题，如约束条件含参数，可行域是变化的问题;目标函数含参数，目标函数的几何图形在变化的问题。为此在这节内容上我们可以充分利用好多媒体手段，利用几何画板等工具将问题直观化形象化动态化，这对发展学生的直观想象能力是很有帮助的。再如圆锥曲线类问题难点在于需要学生将圆锥曲线与函数等知识紧密联系，运用圆锥曲线图像分析问题构建圆锥曲线问题的直观模型。学生需要一定的直观想象能力形成解决问题的思路，借助几何直观可以把圆锥曲线的弦长、垂直、参数范围等问题简明、形象的表示出来。解决此类问题的主要思想方法是用坐标法研究直线与圆锥曲线之间位置关系及方程与曲线之间的联系。借助几何画板，学生能从可视化图像中巩固基础，联系相关知识点尝试建立数学模型，找到解题思路。几何画板还具有很强的开放性，可以从本质上探索圆锥曲线的几何性质。在问题解决与问题再探究中，增强学生从几何直观的角度来思考问题的意识，培养创新思维，提高直观想象能力。

三、以动态问题为载体培养学生的直观想象素养

动点型问题是指题中图形存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线或弧线上运动，求其动点的运动轨迹或者运动规律的问题[2]。问题难点在于需要学生利用几何直观了解动点的运动规律以及数与形的联系，有较强的综合性。动态图形问题是指图形通过平移、旋转、翻折或缩放等运动，其中一个图形与另一个图形重叠，并探求图形之间变化的规律[2]。问题难点在于需要学生准确把握图形的形状变化，注意形状变化的临界点，在运动中分析，在变化中求解。教学时可以借助立体几何画板可以将文字转化为图形、化抽象为直观。直观呈现动点的动态过程，有助于学生观察动点的变化情况，发现动点的运动规律。学生在图形变化中探索不变的性质，增强运用几何直观想象解决问题的意识，提高数形结合能力，让直观想象能力得以形成和发展。例如立体几何中探寻点动点到定点或动点到定直线动点到某一平面的距离问题，传统教学在黑板上作图很难体现出点运动的规律，而我们只需要使用立体几何画板这一工具就可以很方便地让点运动起来，这样可以帮助学生提升直观想象的能力，从而达到解决问题的目的。例如，在研究“柱体、锥体、台体的表面积与体积”时，传统教学方法只是在黑板上画几个图，给学生几个公式，而利用多媒体技术可以给出充分多的图形，让学生在观察中分析众多图形，并且在分析后得出结论，并可以在更多图形中验证，使学生自己得到正确的公式。在几乎是无限的空间中，研究几何图形，从中分析得出正确的结论，这是传统教学不可能做到的，真正做到陈重穆教授提出的“淡化形式，注重实质”的效果，彻底摆脱教学中“烧中段”的教学方式，使学生自己自主地建构知识体系[3]。例如，在教学“二面角”这一课时，教学生如何画二面角是一个重要内容。教师用传统的教学方法在黑板上画给学生看，存在一定的弊端。如学生走神，教师画时部分学生不注意看;教师作图时，身体遮挡住部分学生视线;等等。而运用多媒体辅助教学，情形就大不一样了。教师可以先用多媒体演示画二面角的步骤和基本方法，由于用多媒体演示，手段新颖，学生的注意力集中，给学生留下的深刻印象。演示结束后，教师再到黑板上示范画角，最后让学生独立画角。这样的教学过程设计，符合学生的心理需求，使学生对画角方法清楚明了，教学效果好。学生的直观想象能力自然就上去了。

四、以数形结合问题为载体培养学生直观想象素养

数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。因此，数形结合不仅仅是一种简单的关系，更是一种数學思想（方法）[4]。在数学解题过程中我们经常要将一些代数问题几何化。利用几何直观形象的特点帮助我们解题。充分挖掘好数形结合问题，把数的问题图形化形象化，这对学生直观想象能力的提升是有帮助的。例如函数与方程问题经常需要将函数与方程互化，这就是一个很好的数形结合点。如求函数f（x）=x2+15-x2-6x+13的最大值。直接用函数方法求解是很难的，但我们不妨将其图形化。我们不妨将其化为f（x）=（x-0）2+（0-15）2-（x-3）2+（0-2）2这样就可以看成动点到两个定点距离之差最大的问题。做出图形后利用三角形两边之差小于第三边即可求出最值。如果老师有意识引导学生这样思考问题对于加强学生直观想象能力是十分有帮助的。

总之直观想象能力的培养不是一朝一夕的事情，我们在教学中要结合教材内容精心设计，认真研究，充分准备这样才能起到良好的效果。

参考文献

[1]黄炳锋.充分发挥技术作用发展学生的数学核心素养[J].福建基础教育研究，2016（10）.

[2]乔霁，高琳，庞之与，杨芳，陈莉.超级画板对学生直观想象能力的培养探究[J].贵州师范学院学报，2016（9）.

[3]贾艳敏.运用多媒体巧学立体几何[J].中国教育技术装备，2011，（8上）.

[4]丁杭缨.给学生一个立体的“数学”——例谈“数形结合”[J].人民教育2010，（7）.