“函数模型的应用”教学设计及其评析

丛龙琦

一、教学内容分析

本课选自人民教育出版社的A版高中数学必修1第四章第五节“函数模型的应用”。本小节是函数的基础知识和上一节“几类不同增长的函数模型”的延续，在函数应用（一）的基础上，进一步展开函数应用。教材要求根据材料中提供的相关信息，分析和理解实际问题，对于已知函数模型能够进行应用，对于简单实际问题能够自己建立函数模型并对其进行求解、分析。本节课既是对前面所学函数基础知识的总结，也开启学生应用函数的新世界。

二、学生学情分析

学生在本节课之前已经掌握了一些基本初等函数的相关知识，结合实例学习了几类函数的概念、图像和性质，并能应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题。但是面对较复杂的实际问题，不能将其转化为数学问题，以及如何选择函数模型来刻画实际问题，大多数学生缺乏经验，也缺乏数学抽象能力。

三、教学目标确定

（1）根据表格提供的数据和已知马尔萨斯人口增长模型，验证问题中数据与所提的数学模型是否吻合，培养数学抽象、数据分析和数学建模素养;

（2）根据实际问题建立恰当函数类型构建函数模型，将实际问题划归为数学问题，通过运算、推理求解函数模型，再将用数学知识和方法的得出的结论，还原到实际问题的解决，渗透应用数学意识，使学生体会化归思想，培养数学运算能力;

（3）通过成功解决问题获得学习成就感和乐趣，培养学习兴趣。锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

四、教學重、难点

教学重点：归纳建立函数模型的基本过程

教学难点：对数据信息进行拟合，建立函数模型，并进行模型修正

五、教学方法

引导发现法：对生活中的实际问题进行研究，引导学生对实际问题进行数学抽象，对函数知识进行应用，并以多媒体课件及Excel计算为依托，增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生学习的积极性，引导学生思考、归纳、总结。

六、教学过程设计

【回顾旧知，创设情境】

复习回顾：到目前为止，我们已经学习了

思考题：为什么我们要学习函数知识？

【设计意图】通过贴近生活的问题背景，让学生建立用恰当函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解，提升数学抽象核心素养。

函数与现实世界有着紧密的联系，它是用来描述客观世界变化规律的数学模型，面对实际问题时，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？

【讲授新知，提炼方法】

知识探究：应用已知函数模型解决实际问题

例题2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： （其中t表示经过的时间， 表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率）

问题1：题中有哪些量是变量，哪些量是常量？

问题2：如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001）， 的值为多少？

问题3：用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型。

问题4：检验所得模型与实际人口数据是否相符。

问题5：如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？

求解得出我国1950-1959年期间人口增长模型为 （ ），画出函数图像，并根据表4.5-4中的数据画出散点图。由图4.5-6可以看出，所得模型与1950-1959年的实际人口数据基本吻合。通过函数模型计算得出 ，即大约1950年后的第39年（1989年），我国人口会达到13亿。而事实上我国直到2005年才突破13亿，对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你能找出原因吗？

【设计意图】：结合人口增长的实际社会意义和重要性激发学生的学习热情和责任感;体会将实际问题转化为数学问题并解决问题的过程。结合2005年1月6日我国人口达到13亿的实际情况，探究数学模型失真的原因。

小结：用已知函数模型解题的一般过程：解模→建模→用模。

注意：由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，往往需要对模型进行修正。

【知识探究】：自己建立函数模型解决实际问题

学生活动：完善累积汇报数，并通过计算器完成表4.5-6。

【设计意图】：使学生注意实际问题中增长量和累积回报量的区别，应用模型对实际问题进行分析。

小结：自己建立函数模型解决实际问题一般程序是：审题--建模--解模--还原