浅谈数形结合思想在初中数学教学中的渗透

王小军

文章摘要：数形结合思想可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简化，是数学解题中常用的思想方法，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，大大简化解题过程。数学结合贯穿初中数学始终，为培养学生灵活运用知识的能力，初中数学教学应渗透数形结合思想教学。

关键词：数形结合 联系 转化

所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的;或是借助借助于数的精确性和严密性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决数学问题的思想。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简化，因此，数形结合思想，是数学解题中常用的思想方法，在初中的教和学中广泛运用，贯穿了初中数学教学的始终。

纵观初中数学教学的四部分内容：“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合”，我们不难发现：四部分内容中“数”和“形”都紧密联系，密不可分，哪一部分都有“数”和“形”，也可以说“数”和“形”是初中数学的基石，是初中数学教与学的基本内容。因此，在初中数学教学过程中，我们应有意识地抓住“数”和“形”结合的对应关系，从数形结合的两个方面：“以形助数”和“以数辅形”渗透数形结合思想，在形象思维与抽象思维的交叉运用中，发展学生的数感和空间观念，培养学生对数学的探究能和解决问题能力，提高学生有效掌握学习数学的方法。

一、明确“数”与“形”的结合思想

“数”，早期是古代的计数，现在表示数量的概念;“形”，早期是古代的形状，现在表示空间的概念。它们虽为不同的的两个概念，但彼此间相互联系和发生转化：每一个“数”，都可以通过几何图形直观的反映和描述出来;每一个图形，都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系，所以，“数”和“形”常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下相互转化。为此，我国著名数学家华罗庚曾说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非;切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”

明确了“数”和“形”之間是“永远联系，切莫分离！”，我们就应在教学过程中，充分利用“数”和“形”之间的联系与转化的数形结合思想，教给学生将抽象数学语言与直观图形结合，使抽象思维与形象思维结合起来，不仅直观发现解题途径，而且避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程。简而言之，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路;在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。

二、“以形助数”，形象直观的解题途径和方法

纵观初中数学“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合”四部分教学内容，每个部分都蕴含着抽象的概念和数量关系，而这些对于抽象思维不发达的初中生来说是难以理解的。因此，作为教师可以充分借助“形”来将抽象的概念、数量关系转化为直观的图形，以此引导学生在分析图形的基础上实现概念、数量问题的解决。

如七年级数学中“有理数”的相反数的教学，学生可能能机械地记住这些概念，但很难正确理解其意义，这时，我们就可以借助数轴，通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画加以描述，让相反数的概念形象化、具体化，利于学生的理解和掌握。

“以形助数”的数形结合方法，不仅可借助数轴，也可借助借助函数图象;借助数式的结构特征;或借助于几何轨迹所遵循的数量关系;或借助于运算结果与几何定理的结合等，

三、“以数辅形”，图形更具有精确性严密性

虽然图形具有形象、直观的特点，能将抽象的思维形象直观地呈现在学生面前，但是图形无法定量，这就需要借助具体的数来为该图形定量，正确的把图形数字化，“以数辅形”进行分析计算。这一点，特别适合义务教育的初中数学。究其因，乃《义务教育数学课程标准》，对几何内容做了较大的删改，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，教师就更应利用数形结合的“以数辅形”数形结合思想，从形到数，揭示“形”中“数”的本质。

在初中数学《圆》这一章，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，就是通过“以数辅形”，使图形具有精确性严密性。

例如：圆与圆的位置关系，设两圆的半径分别为R、r（R>r），圆心距为d，

则当d>R+r两圆外离

当d=R+r两圆外切 当R-r

这种描述，正是通过数形结合来揭示事物本质特征，既直观又能体现了运动变化的规律.

总之，“数”产生于各种“形”的计算， “数”又借助于“形”得以记录、使用、计算。在初中数学教学活动开展中，教师切实把握“数”与“形”的对应关系，使学生能利用直观的图形来探究数量关系，或利用数量关系赋予图形以意义，在形象思维与抽象思维的交叉运用中，“以形助数”和“以数辅形”有效掌握灵活的数学学习方法，对发展学生的数感和空间观念，培养学生对数学的探究能和解决问题能力有着巨大的帮助。

参考文献：

1、《谈谈与蜂房结构有关数学问题》 华罗庚1946年

2、《全日制义务教育数学课程标准》 北京师范大学出版社 2002.9.

3、宋英海.数形结合思想在初中数学解题中的应用[J].山西师范大学学报（自然科学版），2015