概率论思想在高等数学解题中的应用

陈华 何佳怡 刘妍 杨逸雯

摘  要：高等数学是一门基础科学， 其特点是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。正因为其自身固有的这些特点，使得高等数学中的某些计算及证明问题难度较大，而概率论是研究随机现象数量规律的一门学科，它与我们的生活息息相关。在高等数学应用中巧妙地引入概率论思想不仅能够提高解题效率，使复杂的问题变得相对简单，而且还能提升学生的学习积极性。文章结合具体习题，阐述并归纳了概率论思想在高等数学解题中的一些应用，不仅为学生提供了新的解题思路，从而提高解题效率，也揭示了不同数学学科之间的本质联系，使学生系统地掌握数学知识体系。

关键词：概率思想;高等数学;归一化;概率模型

Abstract： Higher mathematics is a basic science， which is characterized by high abstraction， strict logic and extensive application. Because of its inherent characteristics， some calculation and proof problems in higher mathematics are more difficult， and probability theory is a subject that studies the number of random phenomena， which is closely related to our life. The introduction of probability theory into the application of higher mathematics can not only improve the efficiency of solving problems and make complex problems relatively simple， but also improve students' learning enthusiasm. Combined with specific exercises， this paper expounds and summarizes some applications of probability theory in solving problems of higher mathematics， which not only provides students with new ideas to solve problems， thus improving the efficiency of solving problems， but also reveals the essential relationship between different mathematics disciplines， so that students can systematically master the system of mathematical knowledge.

Keywords： probability thinking; advanced mathematics; normalization; probability model

概率論是研究自然界中大量随机现象统计规律性的一门科学，兴起于17世纪的意大利，最初被用作计算赌博的获胜概率，而后逐步发展从数学观点研究随机现象的基本性质，也因此与高等数学产生了密不可分的联系。概率论是高等数学的基础课程，它们既相互区别，又相互渗透;高等数学是概率论的基础，在一定条件的前提下，许多数学问题可以用概率论思想分析解答。概率论的应用不仅可以简化运算，同时让枯燥的数学计算题有了丰富的概率背景。在教学中可以考虑多个学科结合，鼓励学生发现和解决问题，有助于理论知识的巩固和掌握。

一、归一化思想在高等数学积分和级数求和计算中的应用

归一化思想来源于概率最基本的性质——正则性[1-2]，即所有可能随机事件发生的概率之和为1，不论是离散型随机变量还是连续型随机变量都满足这一性质，因此在已知概率密度或概率分布的情况下，可以方便得求出某些积分和求和式子的答案。

在高等数学中，积分计算是一项必备技能，通过几何意义、换元积分法和分部积分法等方法可以得出大部分积分的值，然而有些不定积分虽然存在，但却无法用初等函数表示，也称“积不出来”，或是通过常规方法求解困难，这时采用概率思想就能方便快捷地解答。

在具体求解的时候，需要构建概念模型，将正态分布相关性质结合起来，通过这样的方式，就可以让复杂的二重积分问题转变成简单的问题，最后使用相关知识就能够将二重积分函数解出来，节省了时间和精力，通过概率思想进行二重积分的证明问题能够起到十分有效的作用。

二、连续型随机变量的期望和方差在高等数学积分计算中的应用

随机变量的数学期望和方差关系是比较难的计算问题，如果知道了随机变量X的具体分布情况，我们就能够知道X的所有特征。在一些实际应用中，只需要了解它的某些数字特征就行了。所以，在对随机变量的研究中，将某些数字特征确定下来很重要，其中，最常使用的是随机变量的数学期望和方差[4-6]。由于随机变量的数学期望和方差相关内容比较复杂，如果使用常规的方法进行计算，会具有很大的难度。在实际计算的过程中，使用概率思想，就能够将相关的被积函数进行变形，将其转变为随机变量数学期望，从而能够解决问题。

三、通过概率模型简化高等数学中的多项式求和

概率模型（Statistical Model，也称为Probabilistic Model）是用来描述不同随机变量之间关系的数学模型，通常情况下刻画了一个或多个随机变量之间的相互非确定性的概率关系[6]，在高数计算中常常会碰到难以化简或求和的多项式，如果每一项的值都在[0，1]区间内，这时候就可以采用概率思想，构建一个简单的概率模型，再通过相关性质求出答案，概率模型的构建使得抽象问题变得形象可感，降低了学生接受和理解的难度，从而达到较好的教学效果。

解：构建概率模型：箱子里有a个红球与b个白球，从中取出一个球，若为红球则成功，反之失败。若失败则再往箱子里放入1个黑球，进行第二轮取球，直至成功。则题中多项式第一项即代表第一轮就取球成功，第二项代表第二轮取球成功……依此类推，最后一项为第n轮取球成功，当n趋向于无穷大时，各项概率之和趋向于1，因此答案为1。

四、运用概率思想证明不等式

不等式是高等数学的重要知识点，也是学生普遍感觉有学习困难的地方，将概率论应用到不等式中，是因为不等式与概率论存在某些相似性，在概率论中有许多地方都用到了不等式，比如车贝雪夫不等式、中心极限定理、期望与方差，这些不等式有大量的统计数据作为支撑，在一定条件下可以应用在高等数学习题解答中，为一些不等式的证明提供了方便。

五、结论

本文通过举例题与推广的方法，将概率论与高等数学联系起来，既便于加深对相关知识的理解，又为今后的高数解题提供了某些新思路，在做积分的运算时，巧妙利用一维与二维随机变量的密度函数、分布函数以及数学期望的性质，简化某些积分运算;在多项式求和时，特别是当各项均大于0且小于1时，通过建立概率模型的方法，化抽象为具体，在容易理解的基础上达到快速求解的目的;在復杂不等式的证明中，通过利用数学期望与方差的关系、中心极限定理、正态分布等知识，将其转化为概率问题，再由已有的概率论方面的性质或数据求解，从而达到简化证明的目的。本文基于概率论思想在高等数学解题中的应用进行探讨，旨在建立不同数学学科之间的本质联系，促进学生对知识体系的整体构建与掌握。本文也为探究学科的交叉与融合的模式及发展规律提供新思路。

参考文献：

[1]陈华，王树国.概率论与数理统计[M].西北工业大学出版社，2018.

[2]盛骤，周明阳.浅谈概念论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2016（17）：330-338.

[3]黄先开，曹显兵.2019年考研历届数学真题题型解析（数学一）[M].中国人民大学出版社，2018.

[4]齐小忠.概率思想在高等数学证明中的应用探析[J].教育现代化，2018，5（16）：149-150.

[5]王丹丹.概率思想在高等数学计算中的应用研究[M].读书文摘，2015（005）：58.

[6]周绍伟，刘洪霞.概率论方法在高等数学解题中的应用[J].河南教育学院学报，2015，24（02）：60-62.

[7]卓泽强，魏文玲，李小龙.概率思想在高等数学计算中的应用研究[M].科技资讯，2010（20）：196-197.