随机过程实践教学的新思考

刘红

摘  要：文章讨论了随机过程在当前本科教学实践存在的若干问题，从教学目标、教材选取及数学思想的认知方面对现有形势进行仔细分析并给出建设性的相关建议。值得关注的是，文章所讨论的建议和方法不仅仅局限于随机过程的实践教学，也可以对其他学科科目的教学实践提供良好的思路与参考。

关键词：应用随机过程;教学目标;教材选择;教学方法

Abstract： This paper focuses on some recurrent problems in the curriculum of stochastic process based on the current undergraduate teaching in aspect of instructive objectives， textbooks and cognition of mathematical thought. Pieces of advice is also put forward via the presentation of particular examples in the practice. It is worth that the proposals in this paper are also available in the area of other curriculums.

Keywords： stochastic processes; instructive objectives; textbooks; improved experience of education

伴随社会与科技的发展，随机过程的角色愈发重要，而且各领域的众多学者一致认为未来随机过程在交叉学科方面会发挥更加巨大的作用。这方面的需求给我们提供了一个很好的机遇来展示这门学科的价值与魅力，同時对现阶段的教学活动提出了新的考验。

从数学角度的本质来讲，随机过程依托于概率论框架，以分析为手段研究系统演变的一门学科。它的很多思想方法借鉴了其他数学学科，它的特点是偏重分析，注重于概率框架下的建模并热衷于从微观角度诠释宏观系统的某些现象内在机制。它的很多思想和其他数学思想某种程度上不谋而合，在哲学认知方面有自己的特色。在当前的实践教学方面，此课程出现若干问题，本文将依次着重阐述随机过程这门课程在教学目标、教材选择、教学方法及考核方式方面存在的若干问题并给出一些建设性解决方案。

一、认清特色，因地适宜确定教学目标

在实践教学中，教学目标的重要性不言而喻。而要正确确定课程教学目标，首先要正确理解学习课程的必要性以及其这门课程独有的特点。目前，很多教学实践忽略了利用随机过程研究问题想法的起源，反而过多依赖和使用朴素的概率思想去强行解释学习这门课程的必要性，强行割裂了与其他学科特别是物理、化学等方面的联系。更加令人担忧地是，在认知随机过程课程的特色时，错误地同其他数学基础学科混淆，而这些错误的理解会使直观认知出现偏离，从而导致在探索与解决相关问题时出现不必要的障碍。另一方面，由于随机过程的应用范围很广，其课程受到许多实力强劲的综合性院校的重视，尤其以电子通讯、水利工程、地质勘探、核工程等最为明显。此时，教学目标定位不准直接影响了对知识的吸收与理解，影响了知识的活学活用。在这种情况下，需要根据所在学科需求与随机过程课程特点，灵活地确定教学目标，既做到有的放矢，又避免知识的单一体系。因此，在确定随机过程的教学目标时，需要结合院系学科的特点，先从小处入手，再循序渐进至更一般系统，从而达到利用学科特色统领全局，一通百通的目的;特别地，发展良好的工科院系要根据自身特色充分理解这门课程的必要性，从而根据院系特色确定这门课程的教学目标，只有这种做深做精的想法才能驱动和实现相关院校科研上真正的突破。

二、多种教材繁简结合，注重习题

如果将教学目标看做一张藏宝图，那一本好的教材就可以比作挖掘宝藏的工具。即使宝藏再丰富，也需要施展手段挖掘出来。否则过宝山而不入，唯贻笑大方尔。

随机过程就是众多工具的一种，而且很有可能是最好用最直观离真相最近的那一种工具。由于其具有广泛的适用性，因此，关于它的研究方法和技术多种多样，其相关专著颇丰，从而导致了因需选取教材的困难。目前，有些单位教材选取过于单一，往往一头扎进一本书不出来，从头讲到尾，忽略了研究方法的多样性。因此，在教学实践中，首先要保证课时的充足，其次要做到多种教材同时参考（如[1]、[2]、[3]），在以一本教材为主的同时，在介绍主题时灵活引入其他相关研究技术，由简入繁，循序渐进地将思想清晰地引入。值得注意地是，随机过程是属于数学的一门学科，要熟练掌握一个知识，多做习题是最有效的办法，现在有些院校不重视课前预习，课后不做题，导致了学生课上貌似听懂了，一做题还是不会的现象比比皆是。归根到底是习题做的少。所以，要把习题作为掌握技术的一种手段，有目的有兴趣地巩固知识。更要强调的是，做习题的时候，一定不要先看答案，一定要先思考，自己做完了，可以用答案来验证下自己做的对错与否，并对最开始的数学直观与灵感进行总结。

由于院校的具体情况各有差异以及所在学科的着重点不同，教材应基于经典专著的基础知识及反应当前发展的相关文献，从所在学科的背景出发导出本学科真正关注和需要解决的问题，弄清楚随机过程在其中所发挥的作用，这样就抓住了随机过程在相关学科的发展脉络。根据此发展脉络，专家应灵活结合所在学科的背景，有目的地选择相关文献内容并整理为册，并经过实践教学的反馈不断地改进。值得注意的是，在实践教学中，由于各种因素的影响，可能会出现要求降低教材难度的反馈。这时，不可草率地降低难度迎合某些非合理因素的需求，可以将教材分为初级版与高级版，相关院校应保证课时量的充足，在保证完成基础知识的情况下，设置高级版选修课程，从而有利于所在学科的进步。

为了更好地服务于院校课程的教学，本文阐述下目前相关教材的一些特点，各院校可以根据自身学科的特色有目的地选择适合学科发展的教材。

专著[2]是一本很好的入门书籍，作者在内容上偏重于马氏链与鞅论，而这恰恰是随机过程的核心理论。这两方面的理論可以很好地应用到诸如物理、化学、工业、生物等其他学科。对于初学者是一个很不错的参考书。

专著[3]可以看做是专著[2]的高级版，作者以更加自封闭的形式从数学完整性和严密性等方面对马氏过程与鞅论做了重点阐述，适合想进一步提升的读者。

专著[6]更像是一本展示随机过程及其应用的一本书，适合有一定基础并想进一步了解随机过程相关应用的读者。在初学者学习随机过程时，也可以适当地参考，粗略了解随机过程在本学科的应用以及哪一方面的知识对本学科重要，对学习可以提到方向性指引以及提高学习兴趣。

三、教学活动以如何引入思想为主 认清学科发展脉络为目标

随机过程首先是来自于应用，由于所处理问题的复杂性，引入了各种思想与技术手段。而其他应用学科大多亦是如此，只不过考虑问题角度与技术手段有所差异。因此，随机过程的很多思想与其他学科不谋而合，而在教学实践中，这些方面往往被人忽视，不利于数学直觉的培养，破坏了完整数学体系的架构。因此，在介绍某一主题的教学实践中，注意数学直观的引导与不同思想的横向比较，认清思想与相关问题发展的脉络，勿做出本末倒置之事。

在随机过程教学的过程中，教师应该发挥课堂的组织者与设计者的作用。一般来讲，教师应该打破传统的教师独白式授课模式，而是采用“学生发现问题-调研-查找文献-小组讨论-在老师的指导下验证答案”等课程模式来探索随机过程的知识脉络与学术规律，从而理解其背后的学术价值与社会价值。这种方法不仅让学生能够体会到所学知识的实际应用价值也能做到教学与科研的统一。当然，小组讨论等这种教学方式只适用于班级人数比较少的情况，对于超过一百人的大课堂，这种方式无法进行，所以院校在课程设计时注意控制学生人口的数量，不要置教学质量于不顾对授课班级的学生数量不加限制。

比如说，教师在讲授Poisson过程这一章时，教师可以先介绍下Poisson过程的基本概念，基本性质与简单的推广和应用。然后给学生提供与这些教学内容相关的论文，可以报考经典的Poisson过程在金融与保险中的应用论文，也可以包括学术研究的前沿问题。

“知其然，而后所以然”。以下本文将从两个例子出发来阐述教学过程中如何展现最初的思想的来源。

例1. 时齐马链的状态结构是非常重要的研究对象，可以说，很多思想与方法技术都是来源于此。而如何正确的说明研究的必要性是一个并不容易的任务。这涉及到很多方面的本质性问题，例如如何从直观的角度进行分析，如何教会学生思考问题的角度，如何提高思考的品味等， 这些问题都是直指核心的本质问题。因此，在讲授时齐马链的状态结构时，要充分引导学生思考，首先从直观的角度将结果猜测出来，然后在去验证结果是否成立。具体来讲，首先要解释为什么要研究状态结构，从离散的角度自然而然地想到最大公约数，依次直观地探索在什么情况下才会体现出最大公约数的特色，最后猜测出状态的相关结构。而有些院校在教学活动中，往往采用教科书的顺序，先引入定义，而后阐述结果，最后讲解证明，失去了问题探索的初衷，混乱了研究问题的真正顺序。这种做法大大降低了学生学术素质的提高，降低了学生未来发展的上限。

例2. 时齐马链的大数定律是物理、化学以及工学各个分支等学科极为重视的对象，它发挥着从微观过渡到宏观的作用，需要教师根据所在学科的特点从本学科如物理、化学及工学的某一个重要例子出发，说明研究的必要性，突出研究结果的重要性。由于是基于本学科出发，其直观性不言而喻，从而保证了学生对知识的理解与吸收。从本学科具体问题出发，提出所关心的对象，下一步就需要教师巧妙地引导学生对所研究对象的直观理解，把握对本质的理解深度，如教师需循序渐进慢慢地引导学生考虑状态的某种周期行为，从而激发思维与考虑问题的方式，首先直观地预测结果，然后整理思路，按照思考轨迹逆向推导。在推导过程中，注意处理问题时要严格，要做到有理有据，环环相扣，无懈可击。同时，在推导过程中，适时说明某种技术手段的必要性，让学生自发学会总结所学知识，只有这样，才能达到提高学生学问的目的。这样，才能克服“一做不会，做完就忘”的现象。

从以上两个例子可以看出，研究问题的合理性与必要性在治学中至关重要。只有清楚说明所研究问题的背景才可以将合理性与必要性交代清楚。因此，首先需要院系合理安排相关专家与学生面对面，以报告或者座谈的形式向学生交代清楚相关背景，然后再进行下一步具体的教学安排。其目的是让学生做到心里有数，不忘研究初心，在遇到技术难题时也能从直观视角得到问题的合理解决。

与此同时，值得教师注意的是，在教授某一重点知识或技术时，需要适时地针对某一题目进行详细的解析，对其直观视角的来源进行充分的解释，并对所用到的技术做到严格验证条件，在经过此种步骤后，学生才能真正掌握相关技术，并养成良好的学习与思考习惯。

四、考核方式

考核是一种检验是否达到目标的手段，从成本考虑它是有效的手段，但从某些方面来说，它反而可能不是有效的。因此，要充分理解考核的局限，不可过低亦不可过高解读考核的作用。考核方式是检验同学们对这门课的掌握程度好坏的重要环节，需要教师根据学生在平时的表现，更加合理地判断学生对知识掌握的程度。

平时成绩的考核依据不仅仅为出勤与平时的作业，考核成绩可以多样化。比如，平时的课堂教学中可以设置一些问题采取小组讨论的方式让大家更好的理解相关的概念及应用随机过程解决实际问题的方法。可以根据小组讨论的情况与发言的情况给平时成绩。随机过程在现实中很常用，也可以根据所学知识每个章节学完后提交读书心得和小论文等。总之，平时成绩的给定可以多样化，可以根据学生的平时表现综合评定。

在考核方式上，院校要赋予老师更多的权利，鼓励老师采取多样化的选择方式检验学生对知识的掌握程度，而不是人为地降低考核难度，只有这样，才能培养良好的学风，才能体现对知识的尊重，凸显知识的价值。

五、结束语

在教学实践中，教师要被赋予更多权利与义务，更加流畅地表达数学思想的形成与发展脉络，结合所在院系的特色，做到有的放矢，由小入大，再反推由繁入简，达到数学上的知行合一。数之道，其路漫漫，其修亦漫漫，存真反璞矣。

参考文献：

[1]刘次华.随机过程及其应用[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]张波，张景肖.应用统计学系列教材，应用随机过程[M].清华大学出版社，2004.

[3]钱敏平，龚光鲁.随机过程论[M].北京大学出版社，1997.

[4]李娜，张志刚，刘秀芹，等.随机过程实践教学的研究[J].高师理科学刊，2015，35（4）：13.

[5]刘秀芹，李娜，赵金玲.应用随机过程[M].科学出版社，2015.

[6]Sheldon M.Ross. Introduction to Probability Models（Ninth Edition）. Academic Press. 2007.