同一法的规范原则

蔡思凡 肖前军 邓总纲

摘 要：做数学证明题时，往往优先选择直接证明的方法。对于一些直接证明存在困难的问题，可以选择反证法或者同一法。然而，在数学教学过程中，同一法的使用频率却很少，仅在少数几何资料中，存在同一法的简单运用。通过查找许多国内外资料，发现对同一法的介绍相当简单，甚至没有找到同一法的严格定义。故本文借助映射的概念，阐述了同一法的本质，并通过定义逆映射，最后为同一法的使用给出了一个规范的原则。并通过逆映射，为可以运用同一法的问题，打开一个潘多拉魔盒。

关键词：映射;同一法;证明

一、问题背景

同一法 （symmetrical method） 的概念虽然存在，但是国内外资料，并没有同一法的严格定义。仅找到对同一法的简单介绍，要求使用同一法的问题，需要条件与结果都是唯一的， 如文献[1-3]基本都提出了“题设和结论对象都是唯一”的同一原理，然而这一观点却存在一定的局限性，并未完全阐述清楚同一法的本质原理。

本文将以映射为工具，发现题设和结论对象都是唯一，其实仅考虑了题设与结论一一映射的情况，而对于更一般的情况未作介绍，这可能导致一些本可以很好地运用同一法解决的问题，而被误认为不符合同一原则。

比如，一个不熟悉地球各国国情的外星人，面对证明题“台湾省所属的国家是中国。” 它只需要验证中国有一个省叫台湾省，问题就解决了。然而，这个问题初看起来似乎是满足一一映射的同一原理。因为只有中国只有一个台湾省，台湾省也仅属于中国。仔细分析不难发现，台湾省并不是唯一确定中国的因素，比如湖南省所在的国家也是中国，中国有23个省和5个自治区及4个直辖市。很明显，省与中国的对应关系是23对1，并非1对1的。而且很明显可以运用同一法解决。

为了彻底弄清同一法的使用原则，先将问题模型化。条件m所在的集合记为M，结论n所在的集合记为N。我们需要证明的就是在条件f下，m可以证明n。简记为f（m）=n。如证明题“台湾省所在成的国家是中国。”台湾省就是m，中国就是n，然而m∈M，M={中国的23个省}，n∈N，N={所有的国家}台湾省仅是中国的23个省中的一个，可以使用同一法。不妨将模型结构抽象拓扑图如下：

显然，这一模型的抽象拓扑图与单值映射拓扑图相同。故有必要引入映射的概念，为方便讨论，还定义一个新的逆映射。

二、 背景知识

单值映射： 两个非空集合M和N之间存在一个对应关系f，对于集合M中的每个元素m，集合N中总存在唯一的元素n与之对应，这种对应关系是从M到N的单值映射，称为f：M→N，其中N在单值映射f下的元素称为M的象，记为f（M），M被称为单值映射f的原像。元素与元素之间的映射关系，简记为f（m）=n。

明显定义包含两层意思，一是元素m与n之间存在关系，二是每一个原象m，仅有唯一的象n与之对应。

逆映射： 映射f的象f（M）和原象M之间存在一个对应关系f-1，对于集合f（M）中的每个元素n，集合M中总存在元素m与之对应，这种对应关系是从象f（M）到原象M的逆映射，记为f-1：f（M）→M。

经分析发现，同一法的使用原则仅用“题设和结论都唯一”并不合适。题设与结论只需满足单值映射关系，也就是题设可以是多个可变的中的一个，只要结论唯一即满足同一法的使用原则。因此，可以将同一法的使用步骤规范如下：

四、案例应用

例1： 已知如图，在正方形ABCD中，∠BAO=∠ABO=15°，求证：△OCD是等边三角形。

这是一道经典的初中平面几何证明题，由于在平面几何的限制下，题设与条件有唯一确定的关系，因此可以通过同一法，将原题简化为：

同一法变例1： 在正方形ABCD中，△OCD是等边三角形，求证：∠BAO=∠ABO=15°。

然而若将此题不再限于平面几何，则OBC可以绕CD旋转，此时原例的题设虽然有∠DAO=∠ADO，但是其大小α会随着△OBC所在的面与正方形平面间的二面角的平面角β的大小而变化。

变例2： 已知正方形ABCD与△OCD的二面角的平面角为β，其中∠BAO=∠ABO=α，且，求证：△OCD是等边三角形。

故同一原理，原题可以变为，

上述例题和变例的证明都比较简单，为节省篇幅，这里不给出证明。很明显，变例比原来的例1考虑的情况更为广泛，一般情况变例2应该包含原例1，但是奇怪的是，当α=15°，β=0°时，却不成立。

五、结束语

同一法的使用原则，不仅规范了同一法的使用步骤，而且似乎打开了一个潘多拉魔盒，通过逆映射求解出结论的原象集中的元素，随时可以替换原题设，使得原本题设与结论的固定关系变得灵活了起来。有意思的是，本文通过例1运用逆映射，打开的潘多拉魔盒变例2却不包含例1，原因是变例2使用了三角形知识。

参考文献：

[1]胡炳生.关于同一法的两个认识问题[J]《数学通报》1996 -06

[2]王学贤.浅析同一法[J]《数学教学通讯》1984-06

[3]辛自力.關于同一法原理[J]《开封教育学院学报》1993-04