利用伸缩变换证明一个猜想

江苏省姜堰中等专业学校 (225538) 陈 宇

本文将借助伸缩变换证明此猜想成立.

伸缩变换相关性质：

性质1 伸缩变换前后，曲线(含直线)的位置关系不改变(如：平行，相交，相切)；

性质2 伸缩变换前后，同一直线上(或平行线上)的两线段长度之比不改变；

性质3 一条直线，经过伸缩变换φ：

由性质1可知， 在上述伸缩变换下可得

图1

命题如图1，设A，B为⊙O：x2+y2=1上任意两点，过点P1(P1,A,B不共线，P1在⊙O外)作圆的两条割线P1A,P1B分别交圆于M1,N1两点，分别连接AN1,BM1交于R1， 过M1,N1分别作圆的两条切线M1G,N1H交于Q1则P1,Q1,R1三点共线(D1，Q1,R1存在).

该命题证明见[3].

图2

图3

图4

这里所证只是文[3]所证之“情形一”(如图2).同理可证文[3]所证之“情形二”(如图3)，“情形三”(点Q,R都存在时，且PR与弦MN交点D,每一切线与对应割线的交点E,F均存在.如图4)经上述伸缩变换后仍使文[1]之结论成立.

所以猜想成立.

所有需讨论的特殊情形亦如文[3] .

事实上：因为文[3]命题中只要P1点是⊙O外的任意点，具备条件：点P1,A1,A2不共线，(情形3中，A1N与A2M不平行，且相关辅助线交点D,E,F都存在).所以猜想中也不需要此条件：直线l:x=t(t≠0,t≠a).结论照样成立.

图5

图6

再进一步，当P1点是⊙O内除圆心外的任意点，P1,A1,A2不共线，过点P1作圆的两条弦P1A,P1B分别交圆于M1,N1两点，分别连接AN1,BM1交于R1， 过M1,N1分别作圆的两条切线M1G,N1H交于Q1则P1,Q1,R1三点共线(如图5，6).结论依然成立.(作为文[3]的变式，图5，6分别对应文[3]的情形一，二.证明过程亦如文[3]，只需交换P1，R1即可.不存在文[3]之“情形3”)

⊙O经伸缩变换成为椭圆后，即P在椭圆内，P,A1,A2不共线，且P不是椭圆中心，上述猜想的条件下，结论依然成立.

至此， 文[1] 之猜想可推广为：

可由上述P1点在⊙O外或内的已证结论，经伸缩变换证明(此略).