线性FBM过程随机退化设备剩余寿命自适应预测

高旭东，胡昌华，杜党波

(火箭军工程大学，陕西 西安 710025)

0 引 言

随着科学技术的快速发展，现代化工业设备朝着集成化、复杂化、智能化方向发展，这些设备在实际工程中，由于受到外界复杂环境、人为因素以及各种负载的不同程度影响，会逐渐发生性能退化并导致系统故障，从而造成人员的伤亡和经济的损失。因此，为了避免发生重大的设备故障，降低设备运行失效的风险以及提高设备的可靠性和安全性[1-2]，剩余寿命（remaining useful life，RUL）预测技术成为可靠性领域近年来研究的热点与难度之一。

目前，文献[3]将剩余寿命预测的方法总结为4类，其中基于数据驱动的剩余寿命预测方法在各种工程领域中得到了最广泛的应用[4-9]，该方法只需要对退化量建立合适的动态模型，而无需考虑系统的复杂机理。现有研究中，多数基于数据驱动的剩余寿命预测方法通常将退化量简化成无记忆效应的马尔科夫链模型，常用的模型有马尔科夫链[4-5]、维纳过程[6-7]、伽马过程[8-9]等。例如，Wang等[4]提出了一个连续的隐马尔科夫模型来描述刀具磨损的退化状态，并基于铣削力的退化信号预测了系统的RUL。Lei等[7]考虑了机械系统中的测量不确定性，简单地用零均值高斯随机变量表示，然后根据维纳过程的统计性质建立了状态空间模型来预测RUL。Horenbeek等[8]通过固定Gamma退化过程的RUL预测结果提出了一种动态预测维护策略。

尽管上述的建模方式都可得到较为准确的设备剩余寿命预测结果，但是由于设备的未来退化可能不仅与当前退化状态有关，而且可能还将受到历史退化状态的影响，因此实际工程设备中的退化监测数据之间可能存在长期依赖性。这种长期依赖性一般有两种表现形式，即正相关性与负相关性。前者的表现形式是未来的退化趋势遵循之前的退化趋势，而后者会导致相反的退化趋势。鉴于此，采用无记忆效应的传统马尔科夫模型难以准确描述此类动态系统。

综上分析，为了刻画退化监测数据之间可能存在的长期依赖性，本文首先基于分数布朗运动建立了一种线性随机退化模型，并且引入随机效应来反映不同样本间的退化差异性。在此基础上，基于弱收敛性理论与分数布朗运动的性质推导得到了剩余寿命分布的近似解析解。然后，基于极大似然算法和贝叶斯理论完成了模型参数的离线估计与在线更新，进而实现了剩余寿命的在线自适应预测。最后，通过数值仿真和陀螺仪实测数据对本文所提的方法进行了验证。

1 退化过程建模与剩余寿命预测

1.1 基于FBM过程的线性退化模型

为了表征退化轨迹的记忆效应，本文用布朗运动的扩展模型分数布朗运动（fractional Brownian motion，FBM）对退化轨迹进行建模。因此，设备的线性随机退化过程{X(t);t≥0}可以表示为：

注解1：FBM[10]是一种具有长期依赖性、自相关性的连续非马尔科夫过程，其增量是固定且相关的，并且引入了长程相关的结构[11-12]。FBM的相关函数是以赫斯特指数H为特征的，可以测量整个退化轨迹之间的长期依赖性。因为H可以刻画FBM的记忆效应，所以可以用FBM对带有记忆效应的退化轨迹进行建模。文献[10]对FBM进行了详细的定义：

其中 KH(t-s)定义为：

Γ(·)为伽马函数，具体形式为：

1.2 剩余寿命预测

基于随机过程首达时间（first hitting time,FHT）的定义，当{X(t);t≥0}首次到达预先设定失效阈值w时，则认为设备失效。因此，基于观测数据X0:k={x0,x1,···,xk}，将系统在t时刻的剩余寿命Lk定义为：

由于FBM的非马尔科夫性质，很难得到FBM基于FHT分布的解析解。为了得到RUL的近似PDF，普通的方法是将FBM转换成BM。Zhang等[13]利用文献[14]中的复杂弱收敛定理将FBM近似为标准BM，然后推导了RUL的解析概率密度函数（probability density function，PDF）。但是，由于进行了大量的数值积分，这种方法的计算量很大。定理1考虑了关于FBM的更简单的弱收敛方案，提出了基于FBM退化模型的RUL分布。

因此，只需要解决以下形式的退化过程的RUL分布：

基于弱收敛理论，可以将模型（1）转换成式（16），Wang等[16]指出，时间重新缩放的BM保持零均值高斯过程，具有平稳的独立增量，然后在适当的假设下给出了相应RUL分布的近似表达式。具体来说，考虑以下退化模型：

假设失效阈值为 w，在tk时刻RUL的PDF表示式如式（8）所示，其中：

2 模型参数估计

2.1 离线参数估计

根据模型(1)可得：

根据FBM的性质，Xi服从多元正态分布，即Xi～N(μ,Σ)。其中，

根据FBM的性质可得参数θ的对数似然函数为：

对式(34)分别求关于μλ和σλ的一阶偏导并令一阶偏导数为零，可以得到如下表达式：

将式(36)、(37)带入式(34)可得：

可以看出似然函数式(38)具有高维的特征，直接将其极大似然化很难得到其余参数的极大估计值，本文利用Matlab中的多维搜索算法求取σ、 H 的极大似然估计值，然后代入式(36)、(37)得到μλ，σλ极大似然估计值。

2.1节基于同批设备的历史退化监测数据得到的参数估计值反映的是同批设备的共同特征，接下来利用实时监测数据对参数进行更新。

2.2 贝叶斯参数更新

考虑到同一批次设备在运行过程中有环境差异、外界干扰以及任务的不同等差异性，所以同一批次设备中不同个体的退化轨迹是不完全相同的，具有一定的偏差，因此仅仅利用同批设备的历史退化监测数据对单个设备进行RUL的预测会导致比较大的偏差。为了得到单个设备比较准确的RUL，需要利用单个设备实时退化的监测数据去更新反映设备个体差异性的参数。模型中σ、H反映同批设备的共同退化特征，因此不需要用实时监测数据对这些参数进行更新。但是设备的退化率，即漂移系数λ是因设备的不同而变化的，因而对同批设备中的单个设备进行RUL预测时，主要对漂移系数λ进行实时更新，进而对单个设备的RUL进行在线预测。

对于同一批次设备中未失效的个体k，要实现其RUL的在线预测，就需要利用其实时监测的退化数据实时更新退化模型中的漂移系数λk。假设该设备在截止时间t*一共得到nk个实时监测的退化数据，记作：

其中，{ti,i=1,2,···,nk}为对应的退化监测时间，并且满足ti＜t*。

通过式(40)～(44)完成了基于单个设备的实时监测退化数据对模型参数的在线更新。接下来利用仿真试验和实例研究对本文所提的方法进行验证。

3 实验研究

3.1 数值仿真

图1 仿真退化轨迹

图1是时间为0～9的仿真退化轨迹，同时每条轨迹中有90个采样点。为了验证本文所提供的方法对单个设备的RUL能够有效预测，本文假设失效阈值 w=8.3，取截尾时间t*=7.6 h。因此从图1可以看出，到截尾时间的时候，这批设备中有6个设备失效，对应的寿命数据如表1所示。

表1 仿真失效数据

利用未失效设备的仿真退化数据和本文所提的离线参数估计方法，得到参数的先验估计值如表2所示。

表2 参数的先验估计值

得到以上模型参数的先验估计值后，将先验估计值带入退化模型 X (t)=λt+σBH(t)中，得到设备的退化轨迹，并将其退化数据当作待预测设备的实时监测数据，如图2所示。

依据预先设定的失效阈值，从图2中可以看出，设备在 t*=7.98 h时失效。为了检验本文所提模型和参数估计方法的有效性，用图2中 t*=7 h之前的70个采样点数据作为待预测设备的实时退化监测数据，基于上述监测数据，并利用本文参数估计方法对参数进行更新并进行设备RUL在线预测，预测结果如表3所示。

图2 待预测设备的实时监测数据

从表3中可以看出，在设备退化的初始阶段，由于可利用的退化监测数据较少，使得RUL预测的精度不太高。随着设备的不断退化，获得了更多的退化监测数据，就可以用较多的退化监测数据对本文所提退化模型的相关参数进行更新，更新过后的模型参数更加接近待预测设备的退化特征，使得RUL的预测精度不断提高。实验表明本文所提方法能够依据单个设备的实时退化监测数据对退化模型参数进行实时更新，并且能够在线预测单个设备的RUL，其预测结果可靠可信。

表3 漂移参数更新及RUL预测值

接下来将本方法得到的PDF与蒙特卡罗方法来获得数值PDF结果进行比较。进一步证明了本文所提方法的有效性，具体对比如图3所示。

图3表示不同时刻设备剩余寿命分布的预测结果。从图3可以看出，所有带有估计参数的预测RUL都可以很好地匹配数值RUL，这证明了该方法的有效性。由图还可知，距离设备失效时刻越近，剩余寿命分布越就集中，预测均值与设备真实剩余寿命的差距也越小，意味着预测的不确定性降低，精度提高。具体的，利用本文所提方法得到的待测设备的RUL的PDF如图4所示。

图3 本文的RUL的PDF与数值PDF的对比

图4中黑色方框表示待测设备实际的RUL，红色三角形表示本文方法预测的RUL。图4更能直观形象地反映本文所提的方法能够可靠有效准确地预测单个设备的RUL，并且随着获取的退化监测数据越来越多，RUL预测的精度也越来越高。

图4 剩余寿命的分布

3.2 实例验证

为了进一步验证本文方法的有效性，将其应用到具体的实际工程设备中，进行RUL分析。

陀螺仪是惯导系统的核心部件，其精度决定着导航的精度。然而，在实际运行过程中由于内部的磨损以及外部冲击等一系列因数的影响，陀螺仪的性能会随着时间的变化逐渐发生退化，当它的性能指标超过失效阈值时，陀螺仪就会发生失效，进而影响导航的精度。针对惯性平台的陀螺仪，主要分析其各项漂移系数随时间的退化规律。在陀螺仪的所有漂移系数中，对导航精度影响最大的是敏感轴方向的漂移退化，鉴于此，本节基于轴向漂移系数的历史退化监测数据来验证本文方法。同时，与传统模型方法对比，进一步验证本文方法的有效性，传统方法基于Winner过程的线性模型记作模型2，其并没有考虑记忆效应对RUL的影响，本文所提的模型记作模型1，弥补了模型2的不足。接下来利用收集到的陀螺仪历史退化监测数据验证本文方法，一共收集到10组陀螺仪的退化监测数据，其中发生失效的有5组，对应的失效表见表4。未发生失效的有5组，其退化轨迹如图5所示。依据该型号陀螺仪的性能指标，其漂移的最大值为 0.37◦/h，因此其失效阈值 w=0.37◦/h。

表4 陀螺仪失效数据

图5 5组陀螺仪历史退化监测数据

基于获取的5组陀螺仪历史退化监测数据，首先利用第2节的参数离线估计方法对模型参数进行离线估计，得到的参数离线估计值见表5。

表5 参数的离线估计值

利用同批次陀螺仪获得参数的离线估计值后，要想实现单个陀螺仪的RUL在线预测，还需利用单个陀螺仪的实时退化监测数据更新参数。接下来，将从图6中任选一条退化轨迹进行验证，本文选择图5中绿色的退化轨迹，基于该组的退化数据利用第2节的贝叶斯估计方法对模型1中的参数进行更新，参数的轨迹更新如图6所示。依据模型1和模型2，得测陀螺仪的结果对比如图7所示。

图6 漂移系数λ 的后验更新

图7 模型1与模型2的结果对比图

从图6可以看出，在陀螺仪退化的初始阶段，获得的退化数据比较少，导致模型参数的波动性比较大，并且参数的估计值与真实值的误差也比较大。随着获取的退化数据增加，参数的估计值逐渐趋于平稳，表明参数的估计值越来越接近参数的真实值，同时也表明估计的精度随着获取退化数据的增加越来越高。在t=20～100 h中的轨迹波动较大，是因为在该区间陀螺仪的监测退化数据波动比较大，因此进一步表明本文所使用的参数估计方法能够根据退化设备的实时监测数据进行参数的在线更新，从而实现退化设备的RUL在线预测。

由图7可以明显地看出，所有监测时刻的PDF都位于实际RUL的正上方，这表示预测结果是比较准确的。还可以看出模型1与模型2在预测退化方面的性能比较相似，但是本文所提的模型1较传统的模型2还是具有一定的优势，在各个监测时刻，模型1得到的PDF比模型2得到的PDF更窄、更尖锐，这表明模型1的预测结果比模型2更有效，更精确，不确定度更小。

4 结束语

本文主要研究了在记忆效应影响下的线性随机退化设备RUL预测问题。本文首先利用FBM对线性随机退化过程建模，得到了RUL的近似PDF；然后利用离线估计与贝叶斯估计方法对参数进行估计与更新；最后通过数值仿真例子和陀螺仪实例结果比较，验证了本文方法的合理性、有效性、准确性。主要结论如下：1）基于FBM的线性退化模型，能够更为准确、合理地描述线性随机退化设备的记忆效应。通过实例验证，与传统的线性建模方法比较，其RUL预测结果更加精确、不确定性更小；2）所采用的参数估计方法充分利用了设备的历史退化信息与实时监测信息，从而更加准确地实现了设备RUL的在线预测。如何对受记忆效应影响的非线性随机退化设备建模以及如何实现其参数的自适应估计与RUL的在线预测需要进一步研究。综上，对受到记忆效应影响的线性随机退化设备而言，本文提出的基于FBM的线性退化模型对其建模更为合理与准确，并且RUL预测结果优于传统的方法，具有一定的工程实用价值。