基于传递矩阵的钻孔应变法测量薄板残余应力

潘 龙，邓楚铨，徐振钦

(1.南京工程学院 江苏省智能制造装备工程实验室，江苏 南京 211167;2.中国工程物理研究院材料研究所，四川 绵阳 621900)

0 引 言

残余应力广泛存在于机械零部件内，对强度、韧塑性、尺寸精度、疲劳强度、耐腐蚀性等产生严重的影响[1]，甚至影响零件的磁学性能[2]、电学性能[3]等。残余应力测量技术是研究残余应力的基础，其中钻孔法经过几十年的理论研究和工程应用，形成了比较成熟的技术体系，是目前应用最广泛的一种方法[4-5]。钻孔法是在构件表面钻一个小孔，通过测量钻孔前后由残余应力松弛导致孔周围变形的信息，根据变形与残余应力的力学关系计算残余应力。钻孔应变法是测量孔周围的应变信息，然后根据力学关系计算残余应力[6]。美国材料试验协会于1981年制定了钻孔法应变测量残余应力的标准，经过不断修改和完善，制定的现行标准是ASTM E837—13a《standard test method for determining residual stresses by hole-drilling strain-gauge method》[7]，我国使用的标准为GB/T 31310 —2014《金属材料 残余应力测定 钻孔应变法》[8]。两种标准都采用校准系数计算残余应力，ASTM E837通过有限元标定方法给出了一组校准系数数值。但是，校准系数与应变花的几何尺寸、钻孔直径、材料性能等物理参数有关[9-11]，这些参数变化时，需重新标定校准系数，工作量大大增加，并且由于有限元方法的限制，增加了测量人员掌握该技术的难度。根据ASTM E837标准给出的残余应力计算方法，校准系数是影响残余应力测量精度的主要因素之一，有限元方法标定校准系数会产生计算误差，进而增加残余应力的计算误差，降低测量精度。因此，采用校准系数计算残余应力的方法，既增加了测量过程的复杂度，又无法保证测量精度。

此外，随着聚焦离子束钻孔、数字图像分析技术在测量残余应力中的应用，提出了聚焦离子束钻孔—数字图像分析相结合的测量方法，呈现高分辨率、高精度的发展趋势[12]。聚焦离子束钻孔直径达到微米级，可测量第二类微观残余应力，大大提高残余应力的测量分辨率[13]。基于光学的数字图像分析技术为非接触式变形测量方法，测量便捷，精度较高[14]。这些新技术的应用能够提高残余应力测量的分辨率和精度，同时对残余应力测量的力学原理提出较高要求。

根据弹性力学理论建立残余应力和测量应变关系的解析表达式，能够省去校准系数的有限元标定，简化测量过程，不产生有限元计算误差，提高残余应力测量精度。本文针对薄板工件均布残余应力的测量问题，采用弹性力学理论的传递矩阵，推导出了计算残余应力的解析表达式，进一步研究了该方法计算残余应力的精度。

1 残余应力的解析表达式

图1 薄板工件应力分别在点P产生应力示意图

采用图2所示的B类应变花，3个应变片位置的应力分别为：

图2 B类应变花的几何尺寸

式中：R1——应变片左端距离应变花中心的距离；

R2——应变片右端距离应变花中心的距离；

E——材料的弹性模量；

ν——泊松比；

N——应变片的编号，N=1、2、3；

θN——相应应变片和x轴的夹角。

其中tij为反映平均应变与残余应力关系的柔度矩阵。钻孔前薄板工件为二维均布应力状态，3个应变片测量方向的原始应变为

应变花测量的应变为钻孔后的平均应变减去钻孔前的原始应变，即

式(9)减去式(11)，得到应变花测量应变的矩阵表达式为

引入应变传递矩阵 Tij，表达式为

得到计算残余应力的应变传递矩阵解析表达式

ASTM E837标准给出的测量应变与残余应力关系为

2 残余应力的标定与测试

试样为双向拉伸十字试样，如图3所示，厚度为1 mm，采用7075铝合金板制备，去应力退火：400 ℃加热30 min后随炉冷却至室温。试样的两端通过夹具与试验平台相连，另外两端固定在滑台上，通过移动滑台施加预应力。试样上下表面各粘贴一个应变花，上表面的为B类应变花，测量钻孔后的应变值；下表面粘贴三向应变花，测量施加预应力，作为残余应力标定值。根据应力-应变关系给出残余应力标定值的计算公式为

图3 试样形状和应变花粘贴位置（单位：mm）

其中 ε1、ε2、ε3分别是三向应变花 3个应变片的测量值。

试样施加的预应力为残余应力，残余应力的测试系统主要包括钻孔装置和应变测量装置，如图4所示。钻孔装置主要包括高速主轴和高精度电动平台，钻头安装在主轴端部，主轴通过底座安装在电动平台台面，通过控制电动平台的运动控制钻孔进给量和钻孔深度。应变测量装置主要包括应变花、惠斯通电桥、动态应变仪和应变测试软件，应变花的3个应变片和3个补偿片分别与惠斯通电桥相连，电桥输出端与动态应变仪连接，应变仪与计算机连接，通过测试软件得到应变值。

图4 残余应力测试系统

3 试验结果

根据弹性力学理论，推导出了用于计算残余应力的解析表达式(15)，其中引入的应变传递矩阵Tij表达式(14)包含了应变花尺寸信息R1和R2、钻孔半径a、材料泊松比ν等参数。这些参数会由于应变花型号、钻孔刀具和工件材料的不同而变化，皆可代入式(14)直接计算应变传递矩阵数值，具有较高的通用性。对ASTM E837标准中采用校准系数给出的应变传递矩阵，当以上参数变化时，需要重新采用有限元方法标定校准系数，使测量过程复杂，增加了测量难度，而且校准系数的有限元计算误差会累加到残余应力的计算误差，降低测量精度。

选取5个试样，编号为No.1～No.5，三向应变花的标定值和B类应变花的测量值见表1，计算出的残余应力标定值、测量值和相对误差见图5。与标定值相比，采用ASTM E837标准中校准系数计算出残余应力σx和σy的相对误差绝对值均值分别为6.6%和4.5%，τxy的方向与标定的τxy方向相反，相对误差绝对值均值为188%；采用传递矩阵法计算出残余应力σx和σy的相对误差绝对值均值分别为 1.8%和 1.6%，τxy的相对误差绝对值均值为17.3%。残余应力τxy不是施加的主要应力，数值较小，不予考虑，仅分析x、y方向的残余应力。

图5 残余应力测量数值和相对误差

表1 应变的标定值和测量值 με

采用传递矩阵计算的残余应力σx和σy相对误差绝对值均值都小于2%，采用ASTM E837标准中校准系数计算的相对误差绝对值均值为5%左右，表明采用传递矩阵计算的精度高于采用校准系数计算的结果。因为计算残余应力的传递矩阵解析表达式具有严谨的力学理论推导过程，计算精度较高，同时避免了ASTM E837中校准系数的有限元标定的计算误差。

4 结束语

1) 针对钻孔应变法测量薄板工件均布残余应力的计算问题，引入弹性力学中的应变传递矩阵，建立了计算残余应力的解析表达式，包含了应变花几何尺寸、钻孔直径、泊松比等参数，通用性较强，避免了ASTM E837标准中校准系数重复标定，简化了测量过程。

2) 残余应力测试结果表明，采用传递矩阵解析表达式计算残余应力的相对误差小于2%，小于ASTM E837标准中采用校准系数的计算误差5%左右。计算残余应力的解析表达式力学理论依据严谨，计算精度较高，避免了校准系数有限元标定的计算误差，提高了残余应力的测量精度。