重视解题教学,善于变式训练,探究通解通法——以2020年全国卷Ⅰ导数题为例

安徽 刘海涛

数学离不开解题,数学研究的过程就是解决问题的过程,掌握数学的一个重要标志就是善于解题.可见,解题是一名教者的必备技能,技能的形成并非一朝一夕,而在于日积月累.数学解题是巩固基础知识、落实基本技能、感悟思想方法、提升思维敏锐度的系统活动,所以对一道典型问题进行多角度的分析与解答是非常必要的.罗增儒教授曾说:“分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径”,并鼓励广大数学教师“重视解题教学、善于变式训练”.笔者以2020年全国卷Ⅰ的导数压轴题为例进行探究,浅谈对解题教学的认识与思考.

1.试题呈现

(2020·全国卷Ⅰ理·21)已知函数f(x)=ex+ax2-x.

(Ⅰ)当a=1时,讨论f(x)的单调性；

分析:第(Ⅰ)问属于常规问题,本文不再赘述,重点论述第(Ⅱ)问,此问是含有参数的不等式恒成立问题,本小题综合性强、解法灵活、难度较大,主要考查了利用导数研究函数的单调性,含参不等式恒成立求参数范围等知识,考查了学生分析问题、解决问题的能力及化归与转化、分类与整合的数学思想,体现了逻辑推理、数学运算等数学核心素养,作为压轴题,看似熟悉,实则具有一定的迷惑性,稍不留意就会落入窠臼.该类问题的常规解法有两种:①参变分离,转化为求分离后函数的最值问题；②将不等式合理变形,转化为容易处理的函数恒大于等于零的问题,通过参数讨论得出变形所得函数的最值.本文尝试对第(Ⅱ)问从不同的角度予以探究,给出不同的解法.

2.解法探究

评析:对于含参不等式问题,参变分离之后转化为函数的最值问题,这是一种传统解法,实际解题时需要注意:①“分参”时要注意不等号是否需要变号,必要时需分类讨论；②“分参”后,要弄清是求函数的最大值还是最小值,必要时需利用洛必达法则或导数的定义求极限值.

思路2:将不等式朝着利于参数讨论的方向适当变形,化为e-x(x3-2ax2+2x+2)≤2,构造函数h(x)=e-x·(x3-2ax2+2x+2),问题转化为h(x)max≤2.

方法2:(参数讨论法)不等式变形为e-x(x3-2ax2+2x+2)≤2,设h(x)=e-x(x3-2ax2+2x+2)(x>0),问题转化为h(x)max≤2,求导得h′(x)=-x(x-2)(x-2a-1)e-x.

3.变式探究

高考试题凝聚着命题人的心血与智慧,是命题者反复考量与打磨才成型的,对教师的教学具有导向性与启示性.对高考题进行解法探究与变式推广,也是教师日常教研的一项基本任务,反映了教师本身的业务能力与素养.

3.1逆向变式

3.2类比变式

变式2已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2(e是自然对数的底数)

(Ⅰ)判断函数f(x)极值点的个数,并说明理由；

(Ⅱ)若对∀x≥0,f(x)+ex≥x3+x,求a的取值范围.

评析:变式2是安徽省合肥市2018年4月的高三二模题,该题与2020年的高考题设置和背景几乎是一样的,在a=e-2时,不等式在x=1处也可以取等号,从而由数形结合得命题成立的充要条件是g(1)≥0.

4.命题背景

4.1泰勒公式

4.2追本溯源,总结通法

(2)解方程组,消去参数a,整理得到一元(x)方程(x-x0)en(x)=0(x0=n-1,n≥2)；

(3)解该不等式f(n-1)≥0得到参数a的取值范围.

5.变式训练

笔者根据上述研究,编制了如下习题,供读者参考、练习、交流.

6.反思总结

6.1通过一题多解来锻炼数学思维、提高解题能力

通过对2020年全国卷Ⅰ导数题的多角度思考,得到以上不同解法,不同的解答形式体现出不同的思维方式,给考生极大的思考与解答空间,在运算量和解答时间上出现差别,筛选出不同层次的考生,具有很好的信度与区分度.一题多解不仅增加了问题涉及的知识广度,而且以一带多,可以减少考查相同知识的题量.在日常解题过程中,我们要善于通过解题发现知识间的内在联系,体会知识间的化归与转化,构建知识间的网络体系.这样,我们在学习基础知识,掌握基本技能的同时,可以有效锻炼思维的深刻性、广阔性、灵活性和创新性,达到举一反三、融会贯通的解题水平和能力,提高自身的数学思维和核心素养.

6.2看清问题本源,总结归纳一类问题的通解通法