从一道“八省(市)联考”数学试题看二轮复习备考方向

云南 唐明超 广东 潘敬贞

随着新一轮高考改革步伐的深入推进,近年高考数学试题在传统命题特点的基础上更加注重试题结构、考查方式、命题背景等方面的创新.2020年高考数学试题中的同构试题还余温未散,2021年1月由教育部考试中心命制的八省联考模拟试题中再次出现以函数与导数为背景考查同构思想的试题,命题原理以及试题的呈现方式与2020年高考部分试题相似度很高.高考中函数与导数试题多以压轴题的形式呈现,具有较强的灵活性,重在考查学生的数学抽象、逻辑推理与数学建模等核心素养,检测学生的四基与四能发展水平,突出考查学生在实际问题情境中寻找解题方法的核心能力,试题具有较好的区分度.

一、试题呈现

试题1(2021年1月八省联考第8题)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则

( )

A.c

C.a

(一)试题解析

(二)试题情景

试题以含参等式的形式呈现,从方程出发设置问题情景,基于学生的元认知发展水平容易得出a=5,b=4,c=3是满足已知等式的,但试题通过设置参数的取值范围构建认知矛盾,引发学生驻足思考满足等式的其他情况,从而引导学生去观察式子结构特点,寻找其内在的一般规律,进而合理构造函数模型,通过研究函数的图象性质得出试题的结论,既突出了试题的探究性,也强调了所学基础知识的应用价值,考查学生运用已有知识储备解决实际问题的关键能力.

(三)试题的生成逻辑

1.考什么

2.怎么考

如果简单考查利用导数研究复合函数的单调性,这体现不出试题的区分度,毕竟利用导数研究函数的单调性、极值、求切线方程等属于课标要求的基础知识;另外,对“四能”的考查如果停留在初级阶段或者较浅显的层面势必对高中数学的教学起到一定的误导作用,因为高考是教学的指挥棒和方向标,考试不仅仅具有选拔功能,也是教学活动的目标导向.

3.为什么这样考

党的十八大指出教育的根本任务是立德树人,而立德树人的目标分解之后在高中数学新课标中的体现就是要求我国公民通过接受高中数学的教育发展适应社会发展和自身需要的学科关键能力和必备品格,具体概括为六个核心素养.基于这些理念设计的试题具有一定的灵活性和抽象性,能够很好地检测学生的数学抽象、数学建模和逻辑推理等数学核心素养发展水平,考查学生的“四基”与“四能”发展层次,为党和国家的建设选拔人才.

(四)命题特点

该类试题在整套试卷中的难度值往往处于中等偏上水平,多以选择题或填空题的形式出现,具有一定的把关作用;当然也经常与函数与方程、不等式、导数等综合呈现为解答题的形式出现,如2020年全国新高考卷第21题,2020年浙江卷第22题等.

(五)解题策略

解决此类问题的基本思想方法就是认真观察已知条件中的式子结构特点,通过适当的变形之后挖掘其基本模型和一般规律,通过合理构造函数并利用导数研究函数的性质,结合函数图象的特点解决实际问题.在挖掘基本模型和寻找一般规律的过程中具备同构的思想和意识是很重要的,从某种程度上体现的是化归的数学思想,就是将复杂的问题进行梳理与重组,将其整合并转化为熟悉的、简洁的数学模型,再利用已有知识经验在运算和推理的基础上实现对具体问题的解答.

二、与2020年高考同构试题相比较

(一)重温2020年高考同构试题

试题2(2020·全国卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b,则

( )

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

试题解析:将式子适当变形得2a+log2a=22b+log22b-1,观察式子结构特点,容易找到符合条件的函数f(x)=2x+log2x,且f(2b)-f(a)=1>0.又因为函数f(x)是增函数,所以2b>a,故选B.

试题3(2020·全国卷Ⅱ理·11)若2x-2y<3-x-3-y,则

( )

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

试题解析:从未知数统一的角度将式子转化为2x-3-x<2y-3-y,发现不等式两边的结构相同而且符合函数f(t)=2t-3-t的基本形式,成功找到了关联函数.容易判断关联函数f(t)=2t-3-t为增函数,所以由f(x)

(二)一致性分析

试题2呈现的是一个等式,要求判断未知数的大小关系,如果考虑用特殊值法来判断则不容易找到符合条件的特殊值,所以解决该问题的基本思路首先还是考虑同构,即观察式子的结构特点,寻找符合式子结构特点的函数,进而研究函数的性质.试题3是一个经典的不等式比较大小的问题,解决该类试题的关键在于抽象出不等式背后所隐藏的函数,重点考查转化与化归的数学思想.处理的基本方法是先观察式子的结构特点,将不等式进行适当整理化归,寻找一个符合式子结构特点的特殊函数,通过研究关联函数的单调性、最值等基本性质进而实现对原问题的解答.

(三)创新性解读

试题1在试题2与试题3的基础上改变了已知条件的呈现方式,适当加深了变形的难度,将加减运算拓展为乘除运算,所构造出的函数自然也较试题2与试题3复杂,需要利用导数来研究新函数的单调性,思维量和运算量都较大.

三、备考策略

(一)夯实“四基”与发展“四能”并行

注重基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验的积累是我们一直强调的话题,所谓万变不离其宗,试题的生成一定离不开定义、性质、定理等基础知识,所以在平时的学习和复习备考过程中要注意循序渐进的构建知识网络体系,不仅要解决是什么的问题,关键还要在怎么来的、为什么是这样、怎么用等问题上下工夫.发现并提出问题、思考并解决问题是“四能”的内涵与要求,能否有效提高“四能”取决于在学习的过程中对待具体问题的态度.要改变以往靠刷题来丰富解题经验、拓宽解题视野的单一方式,虽然解题是学习数学的必备环节,但是仅靠大量的解题训练谋求能力的提升甚至是考试分数的提高,现在看来已经不太现实了.因为试题的呈现越来越突出情景化,对学生在具体问题情景中分析并寻找恰当的方法解决实际问题的能力要求逐步凸显.

(二)以问题解决为导向的深度教学